Duffing-Differentialgleichung

Die allgemeinste erzwungene Form der Duffing-Gleichung ist

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Abhängig von den gewählten Parametern kann die Gleichung eine Reihe spezieller Formen annehmen. Zum Beispiel, ohne Dämpfung und ohne Zwang, und das Pluszeichen nehmend, wird die Gleichung

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( Bender und Orszag 1978, S. 547; Zwillinger 1997, S. 122). Diese Gleichung kann chaotisches Verhalten zeigen. Für stellt die Gleichung eine „harte Feder“ und für eine „weiche Feder“ dar.“ Wenn , sind die Phasenporträtkurven geschlossen.

Wenn wir stattdessen , , setzen Sie die Uhr so zurück, dass , und verwenden Sie das Minuszeichen, Die Gleichung lautet dann

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Dies kann als ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung als geschrieben werden

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( Wiggins 1990, S. 5), die sich im ungezwungenen Fall auf

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( Wiggins 1990, S. 6; Ott 1993, S. 3).

Die Fixpunkte dieses Satzes gekoppelter Differentialgleichungen sind gegeben durch

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also , und

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geben . Die Fixpunkte sind daher , , und .

Die Analyse der Stabilität der Fixpunkte kann durch Linearisierung der Gleichungen erfolgen. Differenzierung gibt

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welches kann als Matrixgleichung geschrieben werden

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Untersuchung der Stabilität des Punktes (0,0):

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Aber , also ist real. Seit wird es immer eine positive Wurzel geben, daher ist dieser Fixpunkt instabil. Nun schau dir an (, 0). Die charakteristische Gleichung lautet

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was Wurzeln hat

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Für , ist der Punkt also asymptotisch stabil. Wenn , , so dass der Punkt linear stabil ist (Wiggins 1990, S. 10). Wenn jedoch , das Radikal ergibt einen Imaginärteil und der Realteil ist , so dass der Punkt instabil ist. Wenn , , das eine positive reale Wurzel hat, so dass der Punkt instabil ist. Wenn , dann , sind beide Wurzeln positiv und der Punkt ist instabil.