Duffing Equazione differenziale

La forma forzata più generale dell’equazione di Duffing è

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A seconda dei parametri scelti, l’equazione può assumere una serie di forme speciali. Ad esempio, senza smorzamento e senza forzatura, e prendendo il segno più, l’equazione diventa

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(Bender e Orszag 1978, p. 547; Zwillinger 1997, p.122). Questa equazione può visualizzare un comportamento caotico. Per , l’equazione rappresenta una “molla dura” e per , rappresenta una “molla morbida.”Se , le curve di ritratto di fase sono chiuse.

Se invece prendiamo , , reimpostare l’orologio in modo che , e utilizzare il segno meno, l’equazione è quindi

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Questo può essere scritto come un sistema di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine come

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(Wiggins, 1990, p. 5) che, in unforced caso, si riduce a

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(Wiggins 1990, p. 6; Ott 1993, p. 3).

I punti fissi di questo insieme di equazioni differenziali accoppiate sono dati da

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quindi , e

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mi . I punti fissi sono quindi , , e .

Analisi della stabilità dei punti fissi può essere punto linearizzando le equazioni. Differenziare dà

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che può essere scritto come equazione della matrice

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Esame della stabilità del punto (0,0):

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Ma , quindi è reale. Poiché , ci sarà sempre una radice positiva, quindi questo punto fisso è instabile. Ora guarda (, 0). L’equazione caratteristica è

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che ha radici

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Per , , quindi il punto è asintoticamente stabile. Se , , quindi il punto è linearmente stabile (Wiggins 1990, p. 10). Tuttavia, se , il radicale dà una parte immaginaria e la parte reale è , quindi il punto è instabile. Se , , che ha una radice reale positiva, quindi il punto è instabile. Se , allora , quindi entrambe le radici sono positive e il punto è instabile.