모든 구조 엔지니어는 생베낭의 원리를 적극적으로 또는 무의식적으로 사용합니다. 대부분의 구조 역학 교과서에서이 원리의 다양한 공식을 찾을 수 있지만 정확한 의미는 명확하지 않습니다. 생베낭의 원리는 하중의 결과가 올바르다면 하중의 정확한 분포가 로드된 영역으로부터 멀리 떨어진 곳에 중요하지 않다는 것을 말해줍니다. 이 블로그 게시물에서,우리는 특히 유한 요소(철)분석의 맥락에서,생 베낭의 원리를 모색 할 것입니다.
생베낭의 원리의 역사
프랑스 과학자 병영 드 생베낭은 1855 년에 그의 유명한 원리를 공식화했지만 엄격한 수학적 진술보다는 관찰에 가까웠다:
“탄성체 표면의 작은 부분에 작용하는 힘이 표면의 동일한 부분에 작용하는 또 다른 정적으로 동등한 힘 시스템으로 대체되면,이 하중 재분배는 국부적으로 응력에 상당한 변화를 일으키지 만 힘이 변경된 표면의 선형 치수와 비교하여 큰 거리에서의 응력에 무시할 수있는 영향을 미칩니다.”
비.생 베낭,엠.1778>
비.생 베낭,엠.1778>
savants étrangers,vol. 14, 1855.
생 베낭의 초상화. 위키 미디어 공용을 통해 공개 도메인의 이미지.
응용 역학 분야의 많은 위대한 마음들—부시네스크,사랑,본 미제스,투핀 등—은 생베낭의 원리를 보다 정확한 형태로 진술하고 그것에 대한 수학적 증명을 제공하는 데 관여했다. 그것이 밝혀 졌을 때,이것은 더 일반적인 경우에는 매우 어렵고,주제에 대한 연구는 여전히 진행 중입니다. (이 논증은 때때로 매우 생생했습니다.)
간단한 예:거리에서 응력 분석
아주 간단한 것부터 시작합시다: 축 방향으로 당겨지고 로드 된 가장자리에서 어떤 거리에 원형 구멍을 가진 얇은 직사각형 접시. 우리가 구멍의 응력 집중에 관심이 있다면 실제 하중 분포가 얼마나 중요합니까?
가장 오른쪽 경계에 세 가지 부하 유형이 적용됩니다:
- 피크 진폭 150 의 대칭 포물선 응력 분포
- 이전의 두 가지 하중의 경우와 동일한 결과물을 갖는 중심점 하중
아래의 플롯에서 볼 수 있듯이,구멍에서의 응력 분포는 하중이 가해지는 방식에 영향을 받지 않는다. 여기서 핵심은 물론 구멍이 하중에서 충분히 멀리 떨어져 있다는 것입니다.
폰 미제스 세 가지 하중 사례에 대한 응력 윤곽.
이 시나리오를 시각화하는 또 다른 방법은 주 스트레스 화살표를 사용하는 것입니다. 이러한 플롯은 응력 필드를 플럭스로 강조하고 재배포에 좋은 느낌을줍니다.
세 가지 하중 사례에 대한 주요 응력 플롯. 포인트 로드가 사용되는 경우 특이점이 있습니다.
선을 따라 응력을 그래프로 나타내면 세 가지 경우 모두 가장자리로부터 멀리 떨어져 서로 수렴하는 것을 볼 수 있으며,이는 판의 너비와 거의 같습니다.
로드 된 경계로부터의 거리의 함수로서 상단 가장자리를 따라 응력. 거리는 판의 폭에 의해 정규화된다.
홀이 로드된 경계에 더 가까이 이동되면 다른 상황이 발생합니다. 이제 구멍 주변의 응력 상태는 부하 분포에 따라 달라집니다. 그러나 더욱 흥미로운 점은 세 개의 응력장이 일치하는 곳까지의 거리가 로드된 경계에서 두 배 더 멀리 떨어져 있다는 것입니다. 생베낭의 원칙을 적용하려면 스트레스를 자유롭게 재분배할 수 있어야 합니다. 이 경우,그 재배포는 구멍에 의해 부분적으로 차단됩니다.
적재된 경계에 더 가까운 구멍을 가진 위 가장자리를 따라서 긴장.
생베낭의 원리는 하중 영역의 선형 치수 차수의 거리에서 응력 상태에 차이가 없음을 알려줍니다. 그러나 고려해야 할 로드 영역은 실제로 로드된 영역이 아닐 수 있습니다! 이 진술은 이상하게 들릴지 모르지만,이런 식으로 생각하십시오:구멍이 멀리 떨어져있을 때,우리는 수첩을 사용하여 응력 집중 계수를 계산할 수 있습니다(광산은 4.32 라고 말합니다). 핸드북 접근 방식에는 첫 번째 로드 사례에서와 같이 부하가 균등하게 분산된다는 암시적 가정이 포함되어 있습니다. 따라서 실제 하중이 경계의 작은 부분에만 적용 되더라도 이 경우 임계 거리는 전체 경계의 크기와 관련이 있습니다.
유한 요소 방법을 사용하여 문제를 해결할 때 구멍은 임의로 부하에 근접 할 수 있습니다. 제한을 설정하는 것은 물리적 관점에서 부하 분포가 잘 정의되어 있다는 것입니다. 그러나 재배포에 대해 가정하는 즉시 부하 분포에 대한 암시적 가정이 있으며 이는 실제 가정과는 다를 수 있습니다.
제로 결과 시스템 및 스트레인 에너지 밀도
지금까지,우리는 응력이 어떤 적당한 거리에서 부하 세부 사항과 동일한 독립적이라고 말했다. 여기서 선형 탄성을 다루고 있기 때문에 항상 하중 케이스를 중첩 할 수 있습니다. 생베낭의 원리의 증거로 작업 할 때,이 라인을 따라 원리를 공식화하는 것이 더 쉽습니다:결과적인 힘이나 모멘트가없는 부하 시스템으로 인한 응력은 적재 된 경계의 크기와 동일한 크기의 거리에서 작을 것입니다.
따라서 우리는 동일한 결과를 가진 두 부하 시스템의 차이로 인한 스트레스를 연구합니다. 대부분의 현대 증명은 이러한 제로 결과 시스템에 대한 변형 에너지 밀도의 붕괴 추정치를 기반으로합니다.
위의 문제로 돌아가서 부하 사례 간의 차이를 계산할 수 있습니다. 이렇게하면 스트레스 필드의 차이에 대한 스트레스 또는 스트레인 에너지 밀도의 실제 붕괴를 연구 할 수 있습니다.
0-결과 부하 사례에 대한 스트레인 에너지 밀도의 로그.
제로 결과 부하 케이스에 대 한 플레이트를 따라 스트레인 에너지 밀도. 에너지는 수직 방향에 따라서 짐에서 거리의 단지 기능인 양을 일으키기 위하여 통합됩니다.
스트레인 에너지 밀도의 로그에서의 붕괴는 로드된 경계로부터의 거리에 따라 다소 선형적이다. 이것은 실제로 현대의 증명이 예측하는 것과 일치합니다:변형 에너지 밀도의 지수 붕괴. 우리는 또한 구멍이 일시적으로 붕괴 속도를 줄이는 방법을 명확하게 볼 수 있습니다.
얇은 구조물에 생베낭의 원리를 적용
껍질,보,트러스와 같은 더 얇은 구조물의 경우,생베낭의 원리는 보다”단단한”물체와 같은 방식으로 적용될 수 없다는 것이 잘 알려져 있다. 교란은 우리가 기대하는 것보다 더 긴 거리를 여행,얇은 구조의 부하 경로가 훨씬 더 제한되어 있기 때문에. 이것은 우리가 위의 예에서 구멍을 볼 같은 현상이지만,더 눈에 띄게.
여기서 우리는 표준 단면을 가진 빔을 연구합니다. 광속의 끝은 두 횡단면 방향 전부에 있는 선형 배급이 있는 진폭과 더불어 축 긴장을,복종됩니다.
등고선 및 화살표로 표시되는 하중 분포.
대칭으로 인해,이 하중은 모든 축을 중심으로 제로 모멘트뿐만 아니라 제로 결과 힘을 갖습니다. 단면의 높이는 100 밀리미터이므로,생베낭의 원리의 표준 형태가 적용된다면,응력은 단부로부터 약 100 밀리미터의 거리에서 작아야 한다.
빔의 등가 응력. 빨간색 윤곽선은 응력이 최고 적용 응력의 5%미만인 위치를 나타냅니다.
응력이 최고 응력의 5%미만이되기 위해서는 빔을 따라 거의 1 미터를 이동해야합니다. 따라서 상단 및 하단 플랜지 사이의 평형은 얇은 웹을 통한 모멘트 전달을 필요로하기 때문에 여기에서 하중 재분배가 훨씬 덜 효율적입니다.
빔의 비균일 비틀림 이론(즉,뒤틀림 이론 또는 블라 소프 이론)에 대해 잘 알고 있다면,적용된 하중에 상당한 바이멘트가 있음을 인식하게 될 것입니다. 이 모멘트는 물리적 치수 힘을 가진 단면 양입니다 엑스 길이 2.
어쩌면(이것은 단지 내 개인적인 추측 일 뿐이다),이 사건에 대한 효율적인 생 베낭의 원칙은 힘과 순간뿐만 아니라 0 의 이분도 요구해야한다. 이것은 대응하는 바이멘트를 제공하는 4 개의 포인트 하중을 추가하여 수행 할 수 있습니다. 이 분석의 결과는 아래에 나와 있습니다.
제로 바이멘트를 제공하는 4 점 하중을 갖는 등가 응력. 이제 5%응력 윤곽이 로드된 경계에 훨씬 더 가깝습니다.
일부러 최적으로 배치되지 않은 적용된 포인트 하중은 매우 높은(실제로는 단수)국부 응력을 제공합니다. 5%한계는 적용되는 분산 하중의 점에서 아직도 입니다,그래서 새로운 국부적으로 긴장을 위해 조정되지 않습니다. 스트레인 에너지 밀도의 로그 붕괴율은 포인트 부하가 추가된 후 3 배 더 빠릅니다.
유한요소 분석에서 생베낭의 원리
어떤 경우에는 생베낭의 원리가 이산화 문제에 적용된다고 직관적으로 생각할 수 있다. 여기서 우리는 분산 부하 및 부적합 메시를 살펴 봅니다.
분산 로드
연속 경계 로드로 지정하더라도 항상 메쉬 노드에 로드가 적용됩니다. 부하는 아래 예제와 같이 가상 작업 원리를 사용하여 요소의 노드에 내부적으로 분산됩니다.
선형 분산 하중의 유한 요소 모델.
그러나 동일한 결과 힘과 모멘트를 공유하는 한 동일한 노드 하중을 제공하는 무한한 수의 하중 분포가 있습니다. 분명히 유한 요소 문제에 대한 해결책은 이러한 모든 경우에 대해 동일합니다. 생 베낭의 원리에서,그러나,우리는 이러한 모든 부하는 즉시 우리가 어떤 거리 떨어져 본질적으로 같은 스트레스 필드를 제공해야한다고 결론을 내릴 수있다.
우리가 하중을 재분배하는 영역의 크기는 요소면이므로,차이가 없는 선형 치수는 본질적으로 구조 내부의 하나의 요소 레이어입니다. 따라서,요소의 가장 바깥 쪽 레이어의 솔루션은 실제 부하에 해당하지 않을 수 있습니다,하지만 더,그것은 않습니다.
예를 들어,지수 응력 분포를 갖는 경계 하중을 가진 직사각형 판을 적재 할 수 있습니다. 미세한 메쉬로 계산 된 응력은 다음과 같습니다.
축 응력 분포의 등고선 플롯.
생베낭의 원리 때문에,응력장은 우리가 예상했던 것처럼,로드된 가장자리로부터 어느 정도의 거리에 있는 순수한 굽힘 상태로 재분배된다. 그러나 이것은 현재 논의 대상이 아닙니다. 오히려,우리는 위의 응력 분포의 차이를 조사,우리는 거친 메쉬의 숫자로 무엇을 얻을.
세 가지 다른 메시에 대한 축 방향 응력의 오류. 다른 비늘에 유의하십시오. 예상대로 메시가 더 세밀하면 오류가 더 작습니다.
그림에서 볼 수 있듯이 첫 번째 요소 레이어 후에 오류가 빠르게 감소합니다. 여기서 우리가 보는 것은 실제로 메쉬 수렴과 생 베낭의 원리에 의해 암시 된 스트레스의 재분배의 조합입니다.
부적합 메시
부적합 메시는 연결된 두 요소의 모양 기능이 일치하지 않을 때 발생합니다. 가장 일반적인 경우는 어셈블리가 식별 쌍 및 연속성 조건을 사용하여 연결되는 경우입니다. 이를 예시하기 위해 의도적으로 일치하지 않는 메쉬로 직선 막대를 연구 할 수 있습니다. 단축 장력과 같은 간단한 하중 케이스로 전이에 의한 응력 장애를 연구 할 수 있습니다.
부적합 메쉬 전이에서의 축 방향 응력. 2 차 요소가 사용됩니다.
양측 노드에 의해 전달되는 힘은 일정한 응력의 가정과 일치하지 않는다. 다시 말하지만,이 요소는 요소 크기 인 영역에 대한 로컬 부하 재배포로 볼 수 있습니다. 생 베낭의 추론을 사용하여,교란은 전환에서”요소 크기의”거리에서 사라져야합니다. 메쉬가 축 방향으로 정제되면 어떤 일이 발생하는지 조사해 보겠습니다.
0.1%이상의 스트레스 오류가있는 영역. 세 가지 다른 이산화가 축 방향으로 사용됩니다.
교란 영역은 전이 경계에 수직인 방향의 이산화에 의해 크게 영향을 받지 않는다는 것이 밝혀졌다. 이것이 바로 생 베낭의 원칙이 우리에게 말하는 것입니다.
최종 발언
생베낭의 원리를 활용하지 않고서는 상세한 하중 분포가 알려지지 않았기 때문에 많은 구조 분석을 수행하기 어렵다.
이 원칙은 공식적으로 선형 탄성 재료에만 유효합니다. 실제로,우리는 또한 직관적으로 다른 상황을 위해 매일 그것을 사용합니다. 예를 들어,”구멍이 있는 플레이트”예제의 재료가 탄성플라스틱이라면,항복 응력이 경계에서 가해지는 응력보다 높아 구멍 주변에 소성 변형만 있는 한 두 개의 분산된 하중이 동등한 결과를 얻을 것으로 예상합니다. 그러나 점 하중은 재료가 적재 된 점 주위를 산출하기 때문에 항상 다른 솔루션을 제공합니다. 더 긴 토론을 위해 포인트로드시 특이점에 대한이 블로그 게시물을 읽으십시오.
다음 단계
추가 읽기
- 이씨펑과 피통,고전 및 계산 고체역학,세계과학출판사 코리아 (주), 2001.