Dilatación del tiempo: La base de la llamada» paradoja gemela «
Al principio del estudio de la relatividad especial, los estudiantes aprenden sobre el fenómeno de la dilatación del tiempo, es decir, que » los relojes en movimiento corren lentos.»Aquellos que han apreciado adecuadamente el hecho de que todo movimiento es relativo y que han apreciado adecuadamente que los relojes miden el paso del tiempo físico (incluido el biológico), necesariamente deben experimentar cierta incomodidad mental en este resultado. Después de todo, cuando dos observadores se pasan el uno al otro, la predicción es que ambos encontrarán que los relojes del otro corren más lentos que los suyos. Esto bien podría parecer imposible a primera vista y, por lo tanto, invalidar toda la teoría. Sin embargo, un análisis detallado que toma debidamente en cuenta otros dos efectos relativistas igualmente peculiares—la contracción de Lorentz y la relatividad de la simultaneidad—muestra que se puede construir un mundo relativista perfectamente sensible en el que todos los observadores estén de acuerdo en las únicas cosas en las que deben estar de acuerdo, incluidos los detalles de los eventos locales (p., lo que los relojes de todo el mundo leen en una imagen de grupo) y el orden temporal de las secuencias causales (por ejemplo, ¿cuál vino primero, el rayo o el trueno?)
La declaración de la llamada» paradoja gemela «
La confusión causada por el fenómeno de la dilatación del tiempo se ha encapsulado durante mucho tiempo en la llamada «paradoja gemela», que se afirma de la siguiente manera*:
Uno de un par de gemelos (el «gemelo viajero») viaja y regresa de un destino muy distante a una velocidad que se acerca a la de la luz, el otro (el «gemelo con destino a la Tierra») se queda en casa. Dado que ambos gemelos observan que el otro gemelo se está moviendo, ambos descubren que el otro está envejeciendo menos rápidamente. Por lo tanto, en su reunión, ambos gemelos esperarán—¡y encontrarán!- el otro gemelo para ser más joven. Este resultado viola los requisitos de un mundo racional y, por lo tanto, la relatividad especial es incorrecta.
* Debido a que persiste mucha confusión hasta el día de hoy sobre las implicaciones de la llamada «paradoja gemela», me apresuro a enfatizar de manera inequívoca que la llamada «paradoja gemela» no es una paradoja, que no hay controversia sobre su resolución (como veremos) y que de ninguna manera arroja sospechas-y mucho menos invalida-a la teoría de la relatividad especial.
Por qué no hay paradoja
La llamada «paradoja de los gemelos» se resuelve fácilmente al notar que hay una disincción físicamente significativa entre las experiencias de los dos gemelos durante el viaje. El gemelo conectado a la Tierra permanece en un único marco de referencia de velocidad constante todo el tiempo, mientras que el gemelo viajero debe acelerar para dar la vuelta y volver a casa. La aceleración hace que el gemelo viajero cambie de un marco de referencia de velocidad constante a otro y produce efectos que pueden medirse localmente por el gemelo viajero en forma de fuerzas inerciales que pueden derribar cosas, comprimir resortes y, en general, dotar de peso a los objetos. Como resultado del hecho de que sus experiencias son diferentes, no hay ninguna razón a priori para llegar a la misma conclusión.
NB: La «misma conclusión» a la que me refiero aquí—¡a la que no llegan!- es la que se menciona en la penúltima frase de la declaración de la llamada «paradoja de los gemelos» anterior, que el otro gemelo se encontrará más joven. De hecho, sería intolerable para la relatividad especial o cualquier otra teoría física predecir ese hallazgo totalmente incomprensible. Por otro lado, debido a que ambos gemelos, de hecho, deben estar de acuerdo en lo que encuentran, exigimos que cualquier teoría exitosa sea capaz de explicar ese hallazgo desde cualquier punto de vista.
Como resultado, el resultado es que el gemelo viajero es más joven al regresar que el gemelo atado a la Tierra. Esto se entiende fácilmente desde el punto de vista del gemelo ligado a la Tierra que permanece en todo momento en un marco de referencia de velocidad única y constante con respecto al cual los relojes del gemelo viajero siempre (excepto un instante durante el giro) corren lentos. Pero, ¿cómo entendemos esa conclusión desde el punto de vista del gemelo viajero?
Diagramas de espacio-tiempo
Una de las formas más iluminadoras de entender la resolución de la llamada «paradoja gemela» es analizando diagramas de espacio-tiempo detallados y cuidadosamente dibujados para opciones específicas de distancia de viaje y velocidad. Lo he hecho a continuación para un viaje de tres años luz realizado a una velocidad de 3/5 c ( dando un factor relativista γ = 5/4) en ambas direcciones y con un «tiempo de respuesta» de duración insignificante. (La aproximación del tiempo de respuesta insignificante puede muy bien conducir a «fuerzas g» anatómicamente poco realistas (!) y se puede relajar a expensas de la complejidad computacional adicional, pero no hace ninguna diferencia cualitativa en el resultado.)
En este caso, el gemelo unido a la Tierra (EBT) encuentra que el gemelo viajero (TT) tarda cinco años en llegar al destino y cinco años en regresar por un total de diez años. Durante este tiempo, los relojes del TT corren lentos por un factor de 1/γ = 4/5, de modo que el TT envejece ocho años, cuatro años en cada tramo del viaje, y es, por lo tanto, dos años más joven en la reunión.
La vista desde el marco de referencia de la Tierra
El panel izquierdo de la figura de abajo (en el que puede hacer clic para abrir una versión más grande en una nueva ventana), muestra las líneas del mundo del EBT y el TT en el marco de referencia de la Tierra. Tenga en cuenta que el TT llega al destino a una distancia de tres años luz después de un tiempo transcurrido de cinco años en este marco y que el TT solo ha envejecido cuatro años en ese momento. Tenga en cuenta también que la escala de los ejes x y t es tal que la luz viaja a lo largo de líneas en un ángulo de 45 grados, i. e., 1 año por año luz, y que las worldlines del TT tienen una pendiente más grande (que representa una velocidad más baja) de 5/3 años por año luz.
Debido a que la figura se extrae del marco de referencia de la Tierra, las líneas horizontales representan colecciones de eventos que ocurren al mismo tiempo, es decir, «líneas de simultaneidad» para el EBT. La figura también, sin embargo, incluye algunas líneas de simultaneidad en el marco de referencia del TT como se muestra en gris. Debido a la relatividad de la simultaneidad, estas líneas se inclinan y corren de la parte inferior izquierda a la parte superior derecha durante la pierna de salida y de la parte inferior derecha a la parte superior izquierda durante la pierna de entrada. En ambos casos, la pendiente es la inversa de la de la worldline del TT, 3/5 años por año luz. Por ejemplo, tenga en cuenta que una de estas líneas indica que en el momento en que el TT envía la tercera señal anual, el TT diría que el reloj del EBT lee 2,4 años, como debería esperarse, ya que el TT dice que el reloj del EBT se está «moviendo» y, por lo tanto, corriendo lento. Por último, tenga en cuenta que hay dos líneas de simultaneidad que unen el punto de giro, una para el tramo de salida y otra para el tramo de entrada. Indican que el instante de simultaneidad del EBT en el marco del TT salta rápidamente de 3,2 a 6,8 años durante el cambio a medida que el TT se mueve de un marco de referencia a otro.
Tanto el EBT como el TT se envían señales luminosas a intervalos anuales, como se indica en las líneas roja y azul, respectivamente, y cada transmisión está marcada con el número del año en que se envió. Tenga en cuenta que el TT recibe solo las dos primeras señales del EBT en la etapa de salida y recibe las ocho señales restantes en la etapa de entrada con la décima señal final recibida en el momento de la reunión. Tenga en cuenta también que el EBT recibe la última de las cuatro señales de salida (incluida la cuarta en el punto de entrega) en el octavo año y recibe las cuatro señales de entrada solo durante los últimos dos años.
Por lo tanto, vemos que la EBT recibe señales a razón de una cada dos años durante los primeros ocho años y luego a razón de dos por año durante los últimos dos años. Esto equivale a un total de (1/2)*8 + (2)*2 = 8 señales recibidas del TT. Por otra parte, el TT recibe señales también a razón de una cada dos años durante los primeros cuatro años y luego a razón de dos por año durante los últimos cuatro años. Esto equivale a un total de (1/2)*4 + (2)*4 = 10 señales recibidas del EBT.
Vale la pena señalar el hecho de que ambos gemelos están de acuerdo en que reciben señales a una velocidad de 1/2 por año (baja frecuencia) cuando esas señales reflejan un movimiento relativo lejos el uno del otro y ambos gemelos también están de acuerdo en que reciben señales a una velocidad de 2 por año (alta frecuencia) cuando esas señales reflejan un movimiento relativo hacia cada uno del otro. La diferencia es que, para el TT, las señales de baja y alta frecuencia ocupan partes iguales del viaje, mientras que, para el EBT, las señales de baja frecuencia se observan durante el 80% del viaje.
La vista desde el marco de referencia del viajero saliente
El panel derecho de la figura muestra las líneas de mundo del EBT y el TT en el marco de referencia saliente. Tenga en cuenta que, en este marco de referencia, la reunión tiene lugar 12,5 años después de la salida, de acuerdo con el hecho de que los relojes del EBT corren lentos todo el tiempo. El TT, sin embargo, deja este marco de referencia en el punto de giro cuatro años después del viaje, cuando el reloj del EBT indica 3,2 años, como se señaló anteriormente. Tenga en cuenta también que el EBT es 2.a 4 años luz de distancia en este momento, la separación más grande del viaje en este marco, reflejando adecuadamente la contracción de Lorentz de la distancia de 3 años luz observada en el marco de referencia de la Tierra.
En el tramo de entrada, el TT se mueve a una velocidad de -15/17 c obtenida de la adición relativista de las velocidades -3/5 c y -3/5 c. Durante este tiempo, los relojes del TT corren lentos por un factor de 1/γ = 17/8, lo que se refleja en el hecho de que el reloj del TT tarda poco más de dos años en avanzar cada año adicional. Las líneas de mundo para las señales de luz se muestran de nuevo junto con las líneas de simultaneidad para el TT y confirman todas las características señaladas anteriormente en el diagrama del espacio-tiempo para el marco de referencia de la Tierra.
Relación con el efecto Doppler relativista y otra forma de predecir la cantidad de envejecimiento diferencial
Es más interesante observar que, no importa qué velocidad se use para las piernas de salida y entrada, el TT recibirá señales a una velocidad de fout < fo (la frecuencia de transmisión) para la mitad del viaje y a una velocidad de fin = 1/fout > fo para la otra mitad. Por lo tanto, la frecuencia promedio es (fout+fin)/2, que se muestra fácilmente que es mayor que fo. Esto asegura que el TT recibirá más señales durante el viaje de las que envía y, por lo tanto, esperará que el EBT sea mayor en la reunión, en perfecta armonía con lo que el EBT espera encontrar.
De hecho, se puede usar la fórmula Doppler relativista fout = fo 1/2 directamente para predecir la diferencia de edad relativa. Por ejemplo, a una velocidad de 12/13 c, fout = fo 1/2 = (1/5)fo. En consecuencia, la frecuencia media recibida por el TT es (1/5+5)fo/2 = (13/5)fo, lo que implica (correctamente) que el EBT habrá envejecido 13/5 tanto como el TT.