tijddilatatie: de basis voor de zogenaamde “twin paradox”
vroeg in de studie van de speciale relativiteitstheorie leren studenten over het fenomeen van tijddilatatie, dat wil zeggen dat “bewegende klokken langzaam lopen.”Degenen die het feit hebben gewaardeerd dat alle beweging relatief is en die goed hebben begrepen dat Klokken de passage van fysieke (inclusief biologische) tijd meten, zouden noodzakelijkerwijs wat mentaal ongemak moeten ervaren bij dit resultaat. Immers, wanneer twee waarnemers elkaar passeren, is de voorspelling dat beide de klokken van de ander langzamer zullen lopen dan hun eigen. Dit lijkt op het eerste gezicht onmogelijk te zijn en daardoor de hele theorie te ontkrachten. Niettemin blijkt uit een gedetailleerde analyse, die goed rekening houdt met twee andere even eigenaardige relativistische effecten—de lorentzcontractie en de relativiteit van simultaneïteit—dat men een perfect zinnige relativistische wereld kan bouwen waarin alle waarnemers het eens zijn over de enige dingen waar ze het over eens moeten zijn, inclusief de details van lokale gebeurtenissen (bijv., wat ieders horloges lezen in een groepsfoto) en de tijdsvolgorde van causale sequenties (bijvoorbeeld, welke kwam eerst, de bliksem of de donder?)
de bewering van de zogenaamde” tweelingparadox “
de verwarring die wordt veroorzaakt door het fenomeen van tijddilatatie is lange tijd samengevat in de zogenaamde” tweelingparadox ” die als volgt wordt geformuleerd:*:
een van een tweeling (de “reizende tweeling”) reist naar en keert terug van een zeer verre bestemming met een snelheid die die van het licht nadert de andere (de “aarde-gebonden tweeling”) blijft thuis. Aangezien beide tweelingen observeren de andere tweeling te bewegen, beide vinden dat de andere minder snel veroudert. Dus, bij hun hereniging, zullen beide tweelingen verwachten-en vinden!- de andere tweeling is jonger. Dit resultaat druist in tegen de eisen van een rationele wereld en daarom is de speciale relativiteit verkeerd.
* omdat er tot op de dag van vandaag veel verwarring blijft bestaan over de implicaties van de zogenaamde “tweelingparadox”, haast ik me om ondubbelzinnig te benadrukken dat de zogenaamde “tweelingparadox” geen paradox is, dat er geen controverse is over de oplossing ervan (zoals we zullen zien), en dat het op geen enkele manier argwaan wekt-laat staan ontkracht-de theorie van de speciale relativiteit.
waarom er geen paradox is
de zogenaamde “tweelingparadox” kan gemakkelijk worden opgelost door op te merken dat er een fysiek betekenisvolle disinctie is tussen de ervaringen van de twee tweelingen tijdens de reis. De Aardgebonden tweeling blijft de hele tijd in een enkel referentieframe van constante snelheid, terwijl de reizende tweeling moet versnellen om om te draaien en naar huis te komen. De versnelling zorgt ervoor dat de reizende tweeling verandert van het ene referentieframe met constante snelheid naar het andere en produceert effecten die lokaal door de reizende tweeling kunnen worden gemeten in de vorm van traagheidskrachten die dingen om kunnen slaan, veren kunnen comprimeren en objecten in het algemeen gewicht kunnen geven. Als gevolg van het feit dat hun ervaringen verschillend zijn, is er geen a priori reden voor hen om tot dezelfde conclusie te komen.
NB: de “zelfde conclusie” verwijs ik hier—degene waar ze niet toe komen!- is de ene waarnaar wordt verwezen in de voorlaatste zin van de uitspraak van de zogenaamde “tweelingparadox” hierboven, dat de andere tweeling jonger zal blijken te zijn. Inderdaad, het zou onverdraaglijk zijn voor speciale relativiteit of enige andere natuurkundige theorie om die volkomen onbegrijpelijke bevinding te voorspellen. Aan de andere kant, omdat beide tweelingen het in feite eens moeten zijn over wat ze vinden, eisen we dat elke succesvolle theorie in staat moet zijn om die bevinding vanuit beide gezichtspunten te verklaren.
het blijkt dat de reizende tweeling bij terugkeer jonger is dan de Aardgebonden tweeling. Dit is gemakkelijk te begrijpen vanuit het oogpunt van de Aardgebonden tweeling die te allen tijde in een enkel referentieframe met constante snelheid blijft, waarbij de klokken van de reizende tweeling altijd (op één moment na tijdens de omlooptijd) langzaam lopen. Maar hoe begrijpen we die conclusie vanuit het oogpunt van de reizende tweeling?
Ruimtetijddiagrammen
een van de meest verhelderende manieren om de resolutie van de zogenaamde “twin paradox” te begrijpen is door zorgvuldig getekende, gedetailleerde ruimtetijddiagrammen te analyseren voor specifieke keuzes van afstand en snelheid. Ik heb dit hieronder gedaan voor een reis van drie lichtjaren met een snelheid van 3/5 c (wat een relativistische factor γ = 5/4 geeft) in beide richtingen en met een “doorlooptijd” van verwaarloosbare duur. (De benadering van verwaarloosbare doorlooptijd kan heel goed leiden tot anatomisch onrealistische “G krachten” (!) en kan worden ontspannen ten koste van extra computationele complexiteit, maar het maakt geen qualitatief verschil in het resultaat.)
in dit geval stelt de Aardgebonden tweeling (EBT) vast dat de reizende tweeling (TT) vijf jaar nodig heeft om de bestemming te bereiken en vijf jaar om terug te keren voor een totaal van tien jaar. Gedurende deze tijd lopen de klokken van de TT langzaam met een factor 1/γ = 4/5, zodat de TT acht jaar ouder wordt, vier jaar per etappe van de reis, en dus twee jaar jonger is op de reünie.
de weergave vanaf het referentieframe van de aarde
het linkerpaneel van de onderstaande figuur (waarop u kunt klikken om een grotere versie in een nieuw venster te openen) toont de wereldlijnen van de EBT en de TT in het referentieframe van de aarde. Merk op dat de TT de bestemming bereikt op een afstand van drie lichtjaren na een verstreken tijd van vijf jaar in dit kader en dat de TT op dat moment slechts vier jaar heeft gerijpt. Merk ook op dat de schaal van de x-en t-Assen zodanig is dat licht langs lijnen reist onder een hoek van 45 graden, d.w.z., 1 jaar per lichtjaar, en dat de worldlines van de TT een grotere helling hebben (die een lagere snelheid vertegenwoordigt) van 5/3 jaar per lichtjaar.
omdat de figuur is getrokken uit het referentiekader van de aarde, vertegenwoordigen horizontale lijnen verzamelingen van gebeurtenissen die tegelijkertijd plaatsvinden, d.w.z. “lijnen van simultaneïteit” voor de EBT. De figuur bevat echter ook enkele regels van simultaneïteit in het referentiekader van de TT zoals weergegeven in grijs. Vanwege de relativiteit van simultaneïteit worden deze lijnen gekanteld en lopen ze van linksonder naar rechtsboven tijdens het uitgaande been en van rechtsonder naar linksboven tijdens het inkomende been. In beide gevallen is de helling het omgekeerde van die van de worldline van de TT, 3/5 jaar per lichtjaar. Merk bijvoorbeeld op dat een van deze regels aangeeft dat op het moment dat de TT het derde jaarlijkse signaal verstuurt, de TT zou zeggen dat de klok van de EBT 2,4 jaar leest zoals verwacht mag worden, omdat de TT zegt dat de klok van de EBT “beweegt” en daarom traag loopt. Merk ten slotte op dat er twee lijnen van simultaneïteit zijn die het keerpunt verbinden, één voor het uitgaande been en één voor het inkomende been. Ze geven aan dat het moment van simultaneïteit van de EBT in het frame van de TT snel springt van 3,2 jaar naar 6,8 jaar tijdens de turnaround als de TT van het ene referentieframe naar het andere gaat.
zowel de EBT als de TT zenden elk jaar lichtsignalen naar elkaar, zoals aangegeven door respectievelijk de rode en de blauwe lijnen, en elke transmissie wordt gemarkeerd met het nummer van het jaar waarin deze werd verzonden. Merk op dat de TT ontvangt alleen de eerste twee signalen van de EBT op de uitgaande been en ontvangt alle acht resterende signalen op de inkomende been met het laatste, tiende, signaal ontvangen op het moment van de reünie. Merk ook op dat de EBT de laatste van de vier uitgaande signalen (met inbegrip van de vierde op het omslagpunt) op jaar acht ontvangt en de vier inkomende signalen slechts gedurende de laatste twee jaar ontvangt.
zo zien we dat de EBT signalen ontvangt met een snelheid van één om de twee jaar gedurende de eerste acht jaar en vervolgens met een snelheid van twee per jaar gedurende de laatste twee jaar. Dit komt neer op een totaal van (1/2)*8 + (2)*2 = 8 signalen ontvangen van de TT. Aan de andere kant ontvangt de TT signalen ook met een snelheid van één om de twee jaar voor slechts de eerste vier jaar en vervolgens met een snelheid van twee per jaar voor de laatste vier jaar. Dit komt neer op een totaal van (1/2)*4 + (2)*4 = 10 signalen ontvangen van de EBT.
het is vermeldenswaard dat beide tweelingen het erover eens zijn dat ze signalen ontvangen met een snelheid van 1/2 per jaar (lage frequentie) wanneer deze signalen relatieve beweging van elkaar af weer geven en beide tweelingen het er ook over eens zijn dat ze signalen ontvangen met een snelheid van 2 per jaar (hoge frequentie) wanneer deze signalen relatieve beweging van elkaar af weer geven. Het verschil is dat, Voor de TT, de lage en hoge frequentie signalen nemen gelijke delen van de reis, terwijl, voor de EBT, de lage frequentie signalen worden waargenomen gedurende 80% van de reis.
het beeld vanuit het referentiekader van de uitgaande reiziger
het rechterpaneel van de figuur toont de wereldlijnen van de EBT en de TT in het uitgaande referentiekader. Merk op dat, in dit referentiekader, de reünie vindt plaats 12,5 jaar na het vertrek in overeenstemming met het feit dat de EBT ‘ s klokken lopen langzaam de hele tijd. De TT, echter, laat dit referentiekader op de turnaraound punt vier jaar in de reis wanneer de EBT ‘ s klok leest 3,2 jaar zoals eerder opgemerkt. Merk ook op dat de EBT 2 is.4 lichtjaren weg op dit moment, de grootste scheiding van de reis in dit frame, goed als gevolg van de lorentzcontractie van de 3 lichtjaar afstand waargenomen in het referentie frame van de aarde.
op het inkomende gedeelte beweegt de TT met een snelheid van -15/17 c zoals verkregen uit de relativistische optelling van de snelheden -3/5 c en -3/5 c. gedurende deze tijd lopen de klokken van de TT langzaam met een factor 1/γ = 17/8, wat tot uiting komt in het feit dat het iets meer dan twee jaar duurt voordat de klok van de TT elk extra jaar vooruitgaat. De wereldlijnen voor de lichtsignalen worden weer getoond samen met de lijnen van simultaneïteit voor de TT en ze bevestigen elk kenmerk dat eerder werd opgemerkt in het ruimtetijddiagram voor het referentieframe van de aarde.
verband met het relativistische Dopplereffect en een andere manier om de mate van differentiële veroudering te voorspellen
het is zeer interessant om op te merken dat, ongeacht de snelheid die wordt gebruikt voor de uitgaande en inkomende Benen, de TT signalen zal ontvangen met een snelheid van fout < fo (de transmissiefrequentie) gedurende de helft van de rit en met een snelheid van fin = 1/fout > fo voor de andere helft. De gemiddelde frequentie is dus (fout + fin) / 2, wat duidelijk groter is dan fo. Dit zorgt ervoor dat de TT meer signalen zal ontvangen tijdens de reis dan hij verzendt en zal daarom verwachten dat de EBT ouder zal zijn op de reünie, in perfecte harmonie met wat de EBT verwacht te vinden.
inderdaad, men kan de relativistische dopplerformule fout = fo 1/2 direct gebruiken om het relatieve leeftijdsverschil te voorspellen. Bijvoorbeeld, bij een snelheid van 12/13 c, fout = fo 1/2 = (1/5)fo. Dienovereenkomstig is de gemiddelde frequentie die de TT ontvangt (1/5+5)fo/2 = (13/5)fo, wat (correct) betekent dat de EBT evenveel ouder zal zijn dan de TT.