de meest algemene geforceerde vorm van de Duffvergelijking is
![]() |
(1)
|
afhankelijk van de gekozen parameters kan de vergelijking een aantal speciale vormen aannemen. Bijvoorbeeld, zonder demping en zonder forcering, en het plusteken nemen, wordt de vergelijking
![]() |
(2)
|
(Bender en Orszag 1978, blz. 547; Zwillinger 1997, blz. 122). Deze vergelijking kan chaotisch gedrag vertonen. Voor staat de vergelijking voor een “harde veer” en voor
staat de vergelijking voor een “zachte veer”.”Als
, worden de faseportretkrommen gesloten.
als we in plaats daarvan ,
nemen, de klok resetten zodat
, en gebruik het minteken, dan is de vergelijking
![]() |
(3)
|
dit kan worden geschreven als een systeem van de eerste orde gewone differentiaalvergelijkingen als
![]() |
![]() |
![]() |
(4)
|
![]() |
![]() |
![]() |
(5)
|
(Wiggins 1990, blz. 5), die in het geval unforced tot
![]() |
![]() |
![]() |
(6)
|
![]() |
![]() |
![]() |
(7)
|
(Wiggins 1990, blz. 6; Ott 1993, blz. 3).
de vaste punten van deze verzameling gekoppelde differentiaalvergelijkingen worden gegeven door
![]() |
(8)
|
dus , en
![]() |
![]() |
![]() |
(9)
|
![]() |
![]() |
![]() |
(10)
|
geeft . De vaste punten zijn dus
,
, en
.
analyse van de stabiliteit van de vaste punten kan punt zijn door de vergelijkingen te lineariseren. Differentiëren geeft
![]() |
![]() |
![]() |
(11)
|
![]() |
![]() |
![]() |
(12)
|
![]() |
![]() |
![]() |
(13)
|
die kan worden geschreven als de matrixvergelijking
![]() |
(14)
|
onderzoek naar de stabiliteit van het punt (0,0):
![]() |
(15)
|
![]() |
(16)
|
maar , dus
is echt. Sinds
zal er altijd één positieve wortel zijn, dus dit vaste punt is onstabiel. Kijk nu naar (
, 0). De karakteristieke vergelijking is
![]() |
(17)
|
die wortels heeft
![]() |
(18)
|
voor ,
, dus het punt is asymptotisch stabiel. Indien
,
, dus het punt is lineair stabiel (Wiggins 1990, p. 10). Indien
, het radicaal geeft een imaginair deel en het reële deel is
, dus het punt is onstabiel. Indien
,
, die een positieve reële wortel heeft, dus het punt is onstabiel. Als
, dan
, dus beide wortels zijn positief en het punt is instabiel.
interessant is dat het speciale geval zonder forcering,
![]() |
![]() |
![]() |
(19)
|
![]() |
![]() |
![]() |
(20)
|
kan worden geïntegreerd door kwadraturen. Differentiëren (19) en pluggen in (20) geeft
![]() |
(21)
|
beide zijden vermenigvuldigen met geeft
![]() |
(22)
|
maar dit kan geschreven worden
![]() |
(23)
|
dus we hebben een invariant van beweging ,
![]() |
(24)
|
oplossen voor geeft
![]() |
(25)
|
![]() |
(26)
|
so
![]() |
(27)
|
(Wiggins 1990, p. 29).
Note that the invariant of motion satisfies
![]() |
(28)
|
![]() |
(29)
|
dus de vergelijkingen van de duffing oscillator worden gegeven door het Hamiltoniansystem