tidsutvidgning: grunden för den så kallade ”twin paradox”
tidigt i studien av speciell relativitetsteori lär eleverna om fenomenet tidsutvidgning, dvs att ”rörliga klockor går långsamt.”De som har uppskattat det faktum att all rörelse är relativ och som har uppskattat att Klockor mäter passagen av fysisk (inklusive biologisk) tid, borde nödvändigtvis uppleva något psykiskt obehag vid detta resultat. När allt kommer omkring när två observatörer passerar varandra är förutsägelsen att båda kommer att hitta den andras klockor att springa långsammare än sina egna. Detta kan mycket väl tyckas vara omöjligt i ansiktet och därför ogiltigförklara hela teorin. Ändå visar en detaljerad analys som korrekt tar hänsyn till två andra lika märkliga relativistiska effekter-Lorentz-sammandragningen och samtidighetens relativitet—att man kan bygga en helt förnuftig relativistisk värld där alla observatörer är överens om de enda saker som de måste komma överens om att inkludera detaljerna i lokala händelser (t. ex., vad allas klockor läser i en gruppbild) och den tidsmässiga ordningen av kausala sekvenser (t. ex. som kom först, blixten eller åskan?)
uttalandet av den så kallade ”tvillingparadoxen”
förvirringen orsakad av fenomenet tidsutvidgning har länge inkapslats i den så kallade ”tvillingparadoxen” som anges enligt följande*:
en av ett par tvillingar (den” resande tvillingen”) reser till och återvänder från en mycket avlägsen destination med en hastighet som närmar sig ljusets ljus, den andra (den” jordbundna tvillingen”) stannar hemma. Eftersom båda tvillingarna observerar att den andra tvillingen rör sig, finner båda att den andra åldras mindre snabbt. Således, vid deras återförening, båda tvillingarna kommer att förvänta sig-och hitta!- den andra tvillingen att vara yngre. Detta resultat bryter mot kraven i en rationell värld och därför är speciell relativitet fel.
* eftersom mycket förvirring kvarstår till denna dag om konsekvenserna av den så kallade ”tvillingparadoxen”, skyndar jag mig att entydigt betona att den så kallade ”tvillingparadoxen” inte är en paradox, att det inte finns någon kontrovers om dess upplösning (som vi kommer att se) och att den inte på något sätt väcker misstanke om-än mindre ogiltig-teorin om speciell relativitet.
Varför finns det ingen paradox
den så kallade ”tvillingparadoxen” löses lätt genom att notera att det finns en fysiskt meningsfull disinktion mellan de två tvillingarnas upplevelser under resan. Den jordbundna tvillingen förblir i en enda referensram med konstant hastighet hela tiden medan den resande tvillingen måste accelerera för att vända sig och komma hem. Accelerationen får den resande tvillingen att byta från en referensram med konstant hastighet till en annan och ger effekter som kan mätas lokalt av den resande tvillingen i form av tröghetskrafter som kan slå över saker, komprimera fjädrar och i allmänhet ge föremål vikt. Som ett resultat av det faktum att deras erfarenheter är olika, finns det ingen a priori anledning för dem att komma till samma slutsats.
OBS: ”samma slutsats” jag hänvisar till här – den de inte kommer till!- är den som avses i den näst sista meningen i uttalandet om den så kallade ”tvillingparadoxen” ovan, att den andra tvillingen kommer att befinnas vara yngre. Det skulle faktiskt vara oacceptabelt för speciell relativitet eller någon annan fysisk teori att förutsäga det fullständigt obegripliga fyndet. Å andra sidan, eftersom båda tvillingarna faktiskt måste komma överens om vad de hittar, kräver vi att alla framgångsrika teorier ska kunna redogöra för det resultatet från båda synpunkterna.
som det visar sig är resultatet att den resande tvillingen är yngre vid återkomst än den jordbundna tvillingen. Detta förstås lätt ur den jordbundna tvillingens synvinkel som alltid förblir i en enda referensram med konstant hastighet med avseende på vilken den resande tvillingens klockor alltid (förutom ett ögonblick under vändningen) går långsamt. Men hur förstår vi den slutsatsen ur den resande tvillingens synvinkel?
Spacetime-diagram
ett av de mest upplysande sätten att förstå upplösningen av den så kallade ”twin paradox” är genom att analysera noggrant ritade, detaljerade spacetime-diagram för specifika val av trippavstånd och hastighet. Jag har gjort det nedan för en resa på tre ljusår som genomförs med en hastighet av 3/5 c (vilket ger en relativistisk faktor XHamster = 5/4) i båda riktningarna och med en ”vändningstid” av försumbar varaktighet. (Approximationen av försumbar handläggningstid kan mycket väl leda till anatomiskt orealistiska ”g-krafter” (!) och kan slappna av på bekostnad av ytterligare beräkningskomplexitet, men det gör ingen kvalitativ skillnad i resultatet.)
i detta fall finner den jordbundna tvillingen (EBT) att det tar den resande tvillingen (TT) fem år att nå destinationen och fem år att återvända i totalt tio år. Under denna tid går TT: s Klockor långsamt med en faktor på 1/GHz = 4/5 så att TT åldras med åtta år, fyra år på varje del av resan, och är därför två år yngre vid återföreningen.
vyn från jordens referensram
den vänstra panelen i figuren nedan (som du kan klicka på för att öppna en större version i ett nytt fönster) visar världslinjerna för EBT och TT i jordens referensram. Observera att TT når destinationen på ett avstånd av tre ljusår efter en förfluten tid på fem år i denna ram och att TT bara har åldrats fyra år vid den tiden. Observera också att skalan på X-och t-axlarna är sådan att ljuset rör sig längs linjer i 45 graders vinkel, dvs., 1 år per ljusår, och att TT: s världslinjer har en större lutning (som representerar en lägre hastighet) på 5/3 år per ljusår.
eftersom figuren är ritad från jordens referensram representerar horisontella linjer samlingar av händelser som inträffar samtidigt, dvs ”samtidighetslinjer” för EBT. Figuren innehåller emellertid också några rader av samtidighet i referensramen för TT som visas i grått. På grund av samtidighetens relativitet lutas dessa linjer och löper från nedre vänster till övre höger under det utgående benet och från nedre höger till övre vänster under det inkommande benet. I båda fallen är lutningen den inversa av TT: s världslinje, 3/5 år per ljusår. Observera till exempel att en av dessa linjer indikerar att TT för närvarande skickar den tredje årliga signalen, skulle TT säga att EBT: s klocka läser 2,4 år som förväntat eftersom TT säger att EBT: s klocka ”rör sig” och därför går långsamt. Observera slutligen att det finns två linjer av samtidighet som förbinder vändpunkten, en för det utgående benet och en för det inkommande benet. De indikerar att EBT: s ögonblick av samtidighet i TT: s ram hoppar snabbt från 3,2 år till 6,8 år under vändningen när TT flyttar från en referensram till en annan.
både EBT och TT skickar ljussignaler till varandra med årliga intervaller som visas av de röda respektive blå linjerna och varje sändning markeras med numret på det år då den skickades. Observera att TT endast tar emot de två första signalerna från EBT på det utgående benet och tar emot alla åtta återstående signaler på det inkommande benet med den sista, tionde signalen mottagen vid återföreningens ögonblick. Observera också att EBT tar emot den sista av de fyra utgående signalerna (inklusive den fjärde vid vändpunkten) vid år åtta och tar emot de fyra inkommande signalerna under endast de senaste två åren.
Således ser vi att EBT tar emot signaler med en hastighet vartannat år under de första åtta åren och sedan med en hastighet av två per år under de sista två åren. Detta uppgår till totalt (1/2)*8 + (2)*2 = 8 signaler mottagna från TT. Å andra sidan mottar TT signaler också med en vartannat år för endast de första fyra åren och sedan med en hastighet av två per år för de sista fyra åren. Detta uppgår till totalt (1/2)*4 + (2)*4 = 10 signaler mottagna från EBT.
det är väl värt att notera det faktum att båda tvillingarna är överens om att de tar emot signaler med en hastighet av 1/2 per år (låg frekvens) när dessa signaler reflekterar relativ rörelse bort från varandra och båda tvillingarna är också överens om att de tar emot signaler med en hastighet av 2 per år (hög frekvens) när dessa signaler reflekterar relativ rörelse mot varandra från varandra. Skillnaden är att för TT upptar låg-och högfrekvenssignalerna lika delar av resan medan för EBT observeras lågfrekvenssignalerna under 80% av resan.
vyn från referensramen för den utgående resenären
den högra panelen i figuren visar världslinjerna för EBT och TT i den utgående referensramen. Observera att återföreningen i denna referensram äger rum 12, 5 år efter avgången i linje med att EBT: s Klockor går långsamt hela tiden. TT lämnar dock denna referensram vid turnaraound-punkten fyra år in i resan när EBT: s klocka läser 3, 2 år som tidigare nämnts. Observera också att EBT är 2.4 lightyears bort vid denna tidpunkt, den största separationen av resan i denna ram, vilket korrekt återspeglar Lorentz-sammandragningen av det 3 lightyear-avståndet som observerats i jordens referensram.
på det inkommande benet rör sig TT med en hastighet av -15/17 c som erhållits från den relativistiska tillsatsen av hastigheterna -3/5 c och -3/5 c. under denna tid går TT: s Klockor långsamt med en faktor 1 / GHz = 17/8, vilket återspeglas i det faktum att det tar drygt två år för TT: s klocka att avancera varje ytterligare år. Världslinjerna för ljussignalerna visas igen tillsammans med linjerna för samtidighet för TT och de bekräftar alla funktioner som tidigare noterats i rymdtidsdiagrammet för jordens referensram.
förhållande till den relativistiska Doppler-effekten och ett annat sätt att förutsäga mängden differentiell åldrande
det är mest intressant att notera att, oavsett vilken hastighet som används för utgående och inkommande ben, kommer TT att ta emot signaler med en hastighet av fout < fo (överföringsfrekvensen) för halva resan och med en hastighet av fin = 1/fout > fo för den andra hälften. Således är den genomsnittliga frekvensen (fout + fin) / 2 som lätt visas vara större än fo. Detta försäkrar att TT kommer att få fler signaler under resan då han skickar och kommer därför att förvänta sig att hitta EBT att vara äldre vid återföreningen, i perfekt harmoni med vad EBT förväntar sig att hitta.
man kan faktiskt använda den relativistiska Dopplerformeln fout = fo 1/2 direkt för att förutsäga den relativa åldersskillnaden. Till exempel, med en hastighet av 12/13 c, fout = fo 1/2 = (1/5)fo. Följaktligen är den genomsnittliga frekvensen som mottas av TT (1/5 + 5)fo/2 = (13/5)fo vilket innebär (korrekt) att EBT kommer att ha åldrats 13/5 lika mycket som TT.