ODEEdit
Pro obyčejné diferenciální rovnice, například,
y „+ y = 0 , {\displaystyle y“+y=0,}
Neumann okrajové podmínky na intervalu formu
y ‚ ( a ) = α , y ‚( b ) = β , {\displaystyle y'(a)=\alpha ,\quad y'(b)=\beta ,}
kde α a β jsou uvedeny čísla.
PDEEdit
Pro parciální diferenciální rovnice, například,
∇ 2 y + y = 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}
kde ∇2 představuje Laplaceův operátor, Neumann okrajové podmínky na doménu Ω ⊂ ℝn mít podobu
∂ y ∂ n ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ∂ Ω , {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \in \partial \Omega ,}
kde n označuje (obvykle vnější) normálu k hranici ∂Ω a f je dána skalární funkce.
normální derivátu, který se ukáže na levé straně, je definován jako
∂ y ∂ n ( x ) = ∇ y ( x ) ⋅ n ^ ( x ) , {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x} ),}
kde ∇y(x) představuje gradient vektor y(x), n je jednotkový normální, a ⋅ představuje skalární součin operátor.
Je zřejmé, že hranice musí být dostatečně hladká tak, že normální derivace může existovat, protože, například, v rohových bodech na hranici normálový vektor není dobře definován.
ApplicationsEdit
následující aplikace zahrnují použití Neumannovy okrajové podmínky:
- V termodynamiky, předepsaný tepelný tok z povrchu, bude sloužit jako okrajová podmínka. Například dokonalý izolátor by neměl žádný tok, zatímco elektrická součást se může rozptýlit při známém výkonu.
- V magnetostatics, intenzita magnetického pole mohou být předepsány jako okrajové podmínky aby bylo možné najít magnetickou indukci distribuce v magnetu pole v prostoru, například v permanentní magnet motoru. Protože problémy v magnetostatice zahrnují řešení Laplaceovy rovnice nebo poissonovy rovnice pro magnetický skalární potenciál, hraniční podmínka je Neumannova podmínka.