ODEEdit
for en ordinær differensialligning, for eksempel
y «+ y = 0, {\displaystyle y «+ y=0,}
Grensebetingelsene For neumann på intervallet tar formen
y ‘( a ) = α, y ‘(b ) = β, {\displaystyle y'(a)=\alfa ,\quad y'(b)= \ beta ,}
der det oppgis tall fra α
PDEEdit
For en partielle ligningen, for eksempel
∇ 2 y + y = 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}
hvor ∇2 betegner Laplace-operatoren, den Neumann grensebetingelser på et domene Ω ⊂ ℝn ta form
∂ y ∂ n ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ∂ Ω , {\displaystyle {\frac {\delvis y}{\delvis \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \i \delvis \Omega ,}
hvor n betegner (typisk utvendig) normal til grensen ∂ ω, og f er en gitt skalarfunksjon.
normal derivat, som dukker opp på venstre side, er definert som
∂ y ∂ n ( x ) = ∇ y ( x ) ⋅ n ^ ( x ) , {\displaystyle {\frac {\delvis y}{\delvis \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x} ),}
hvor ∇y(x) representerer en gradient vektor av y(x), n er enheten som vanlig, og ⋅ representerer den indre produktet operatør.
det blir klart at grensen må være tilstrekkelig jevn slik at det normale derivatet kan eksistere, siden for eksempel ved hjørnepunkter på grensen er normalvektoren ikke veldefinert.
ApplicationsEdit
følgende programmer involverer Bruk Av Neumann grenseforhold:
- i termodynamikk vil en foreskrevet varmefluss fra en overflate tjene som grensetilstand. For eksempel vil en perfekt isolator ikke ha flux mens en elektrisk komponent kan spre seg ved en kjent kraft.
- i magnetostatikk kan magnetfeltintensiteten foreskrives som en grensetilstand for å finne den magnetiske flukstetthetsfordelingen i et magnetarray i rommet, for eksempel i en permanentmagnetmotor. Siden problemene i magnetostatikken innebærer å løse Laplaces ligning eller Poissons ligning for det magnetiske skalarpotensialet, er grensetilstanden En Neumann-tilstand.