ODEEdit
for en almindelig differentialligning, for eksempel
y “+ y = 0, {\displaystyle y” + y=0,}
Neumann-grænsebetingelserne på intervallet tager formularen
y ‘(a) = liter, y ‘(b ) = liter, {\displaystyle y'(a)= \ alpha, \ firkant y'(b)= \ beta ,}
hvor der er tal på kr.og kr.
PDEEdit
For en partiel differential ligning, for eksempel,
∇ 2 y + y = 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}
hvor ∇2 angiver de Laplace operator, Neumann randbetingelser på et domæne, Ω ⊂ ℝn tage form
∂ y ∂ n ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ∂ Ω , {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \i \partial \Omega ,}
hvor n betegner den (typisk ydre) normal til grænsen, og F er en given skalarfunktion.
det normale derivat, der vises på venstre side, er defineret som
list y list n (h) = list y (h) list n ^ (h), {\displaystyle {\frac {\partial y} {\partial \ mathbf {n} }}(\mathbf {n}} =\nabla y(\mathbf {h}) \cdot \mathbf {\hat {n}} (\mathbf {n}}} ),}
hvor den indre produktoperatør repræsenterer den indre produktoperatør, er n den normale enhed, og den indre produktoperatør.
det bliver klart, at grænsen skal være tilstrækkelig glat, således at det normale derivat kan eksistere, da for eksempel ved hjørnepunkter på grænsen er den normale vektor ikke veldefineret.
ApplicationsEdit
følgende applikationer involverer brugen af Neumann-grænsevilkår:
- i termodynamik ville en foreskrevet varmestrøm fra en overflade tjene som grænsetilstand. For eksempel ville en perfekt isolator ikke have nogen strøm, mens en elektrisk komponent kan sprede sig ved en kendt effekt.
- i magnetostatika kan magnetfeltintensiteten ordineres som en grænsetilstand for at finde den magnetiske strømningsdensitetsfordeling i et magnetarray i rummet, for eksempel i en permanent magnetmotor. Da problemerne i magnetostatika involverer løsning af Laplace ‘s ligning eller Poisson’ s ligning for det magnetiske skalarpotentiale, er grænsetilstanden en Neumann-tilstand.