ODEEdit
dla równania różniczkowego zwyczajnego, na przykład
y „+ y = 0, {\displaystyle y „+ y=0,}
warunki brzegowe Neumanna na przedziale przyjmują postać
y '( a ) = α , y '( b ) = β , {\displaystyle y'(a)=\alpha ,\quad y'(b) = \ beta ,}
gdzie α i β są podane liczby.
PDEEdit
dla równań różniczkowych, na przykład,
∇ 2 g + g = 0 , {\właściwości wyświetlania stylu wartość \набла ^{2}g+g=0,}
gdzie ∇2 oznacza operator Laplace ’ a, Neumann warunków brzegowych na obszarze Ω ⊂ ℝn przyjmują formę
∂ g ∂ n ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ∂ Ω , {\właściwości styl wyświetlania wartości {\фрац {\częściowym g}{\partial \mathbf {N} }}(\mathbf {X} )=f(\mathbf {x} )\quad \форалл \mathbf {x} \w \partial \Omega ,}
gdzie n oznacza (typowo zewnętrzną) normalną do granicy ∂Ω, a f jest daną funkcją skalarną.
normalna pochodna, która pojawia się po lewej stronie, jest zdefiniowana jako
∂ y ∂ n ( x) = ∇ y ( x) n n ^ (x), {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n}}} (\mathbf {x}) =\nabla y (\mathbf {x}) \cdot \mathbf {\hat {N}} (\mathbf {x} ),}
gdzie ∇y (x) reprezentuje wektor gradientu Y (x), n jest jednostką normalną, a ⋅ reprezentuje wewnętrzny operator produktu.
staje się jasne, że granica musi być wystarczająco gładka, aby pochodna normalna mogła istnieć, ponieważ na przykład w punktach narożnych na granicy wektor normalny nie jest dobrze zdefiniowany.
Aplikacjeedit
następujące aplikacje wymagają zastosowania warunków brzegowych Neumanna:
- w termodynamice określony strumień ciepła z powierzchni posłużyłby jako warunek graniczny. Na przykład doskonały izolator nie miałby strumienia, podczas gdy element elektryczny może rozpraszać się przy znanej mocy.
- w magnetostatyce Natężenie pola magnetycznego może być określone jako stan graniczny w celu znalezienia rozkładu gęstości strumienia magnetycznego w układzie magnesów w przestrzeni, na przykład w silniku z magnesami trwałymi. Ponieważ problemy w magnetostatyce obejmują rozwiązanie równania Laplace ’ a lub równania Poissona dla magnetycznego potencjału skalarnego, warunek graniczny jest warunkiem Neumanna.