ODEEdit
Pour une équation différentielle ordinaire, par exemple,
y »+y = 0, {\displaystyle y » +y=0,}
les conditions aux limites de Neumann sur l’intervalle prennent la forme
y'(a) = α, y'(b) = β, {\displaystyle y'(a) = \alpha, \quad y'(b) = \beta ,}
où α et β sont des nombres donnés.
PDEEdit
Pour une équation aux dérivées partielles, par exemple,
∇2 y + y = 0, {\displaystyle\nabla^{2} y+ y=0,}
où ∇2 désigne l’opérateur de Laplace, les conditions aux limites de Neumann sur un domaine Ω ℝ ℝn prennent la forme
yy ∂n(x) = f(x) ∀ x ∈ Ω Ω, {\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial\mathbf{n}}} (\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) \quad\forall\mathbf{x}\in\partial\Omega ,}
où n désigne la normale (typiquement extérieure) à la limite ∂Ω, et f est une fonction scalaire donnée.
La dérivée normale, qui apparaît sur le côté gauche, est définie comme
yy nn(x) = yy(x) nn^(x), {\displaystyle {\frac{\partial y} {\partial\mathbf{n}}} (\mathbf{x}) = \nabla y(\mathbf{x}) \cdot\mathbf{\hat{n}} (\mathbf{x} ),}
oùyy(x) représente le vecteur de gradient de y(x), n est l’unité normale et ⋅ représente l’opérateur de produit interne.
Il devient clair que la frontière doit être suffisamment lisse pour que la dérivée normale puisse exister, car, par exemple, aux points d’angle de la frontière, le vecteur normal n’est pas bien défini.
ApplicationsEdit
Les applications suivantes impliquent l’utilisation de conditions aux limites de Neumann:
- En thermodynamique, un flux de chaleur prescrit à partir d’une surface servirait de condition aux limites. Par example, un isolant parfait n’aurait pas de flux alors qu’un composant électrique peut se dissiper à une puissance connue.
- En magnétostatique, l’intensité du champ magnétique peut être prescrite comme condition aux limites afin de trouver la distribution de la densité de flux magnétique dans un réseau d’aimants dans l’espace, par exemple dans un moteur à aimants permanents. Puisque les problèmes en magnétostatique impliquent la résolution de l’équation de Laplace ou de l’équation de Poisson pour le potentiel scalaire magnétique, la condition aux limites est une condition de Neumann.