ODEEdit
Voor een gewone differentiaalvergelijking, bijvoorbeeld,
y “+ y = 0 , {\displaystyle y”+y=0,}
de Neumann randvoorwaarden op het interval van de vorm
y ‘ ( a ) = α , y ‘( b ) = β , {\displaystyle y'(a)=\alpha ,\quad y'(b)=\beta ,}
waar α en β zijn de gegeven getallen.
PDEEdit
Voor een partiële differentiaal vergelijking, bijvoorbeeld,
∇ 2 y + y = 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}
waar ∇2 geeft de Laplace-operator, de Neumann randvoorwaarden op een domein Ω ⊂ ℝn de vorm
∂ y ∂ n ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ∂ Ω , {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \in \partial \Omega ,}
waar n de (typisch uitwendige) normaalwaarde aan de grens ∂aangeeft, en f een gegeven scalaire functie is.
De normale afgeleide, die laat zien op de linker kant, wordt gedefinieerd als
∂ y ∂ n ( x ) = ∇ y ( x ) ⋅ n ^ ( x) {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x} ),}
waar ∇y(x) staat voor de gradiënt vector y(x), n is het toestel normaal, en ⋅ vertegenwoordigt de innerlijke product operator.
het wordt duidelijk dat de grens zo glad moet zijn dat de normale afgeleide kan bestaan, omdat bijvoorbeeld op hoekpunten op de grens de normale vector niet goed gedefinieerd is.
Toepassingenedit
de volgende toepassingen omvatten het gebruik van Neumann randvoorwaarden:
- in de thermodynamica zou een voorgeschreven warmteflux van een oppervlak dienen als grensvoorwaarde. Bijvoorbeeld, een perfecte isolator zou geen flux hebben, terwijl een elektrische component kan worden afgevoerd op een bekend vermogen.
- in de magnetostatica kan de intensiteit van het magnetisch veld als grensvoorwaarde worden voorgeschreven om de verdeling van de magnetische fluxdichtheid in een magneetreeks in de ruimte te vinden, bijvoorbeeld in een permanente magneetmotor. Aangezien de problemen in de magnetostatica het oplossen van Laplace ‘ s Vergelijking of poissons vergelijking voor de magnetische scalaire potentiaal impliceren, is de randvoorwaarde een neumannvoorwaarde.