ODEEdit
Para uma equação diferencial ordinária, por exemplo,
y “+ y = 0 , {\displaystyle y”+y=0,}
as condições de contorno de Neumann no intervalo de assumir a forma
y ‘ ( a ) = α , y ‘( b ) = β , {\displaystyle y'(a)=\alpha ,\quad y'(b)=\beta ,}
onde α e β são números apresentados.
PDEEdit
Para uma equação diferencial parcial, por exemplo,
∇ 2 y + y = 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}
onde ∇2 denota o operador de Laplace, as condições de contorno de Neumann em um domínio Ω ⊂ ℝn assumir a forma
∂ y ∂ n ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ∂ Ω , {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \in \partial \Omega ,}
em que n denota o normal (tipicamente exterior) para a fronteira ∂Ω, E f é uma função escalar dada.
normal de derivativos, o que se mostra no lado esquerdo, é definido como
∂ y ∂ n ( x ) = ∇ y ( x ) ⋅ n ^ ( x ) , {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x} ),}
onde ∇y(x) representa o gradiente do vetor de y(x), n é a unidade normal, e ⋅ representa o produto interno operador.
torna-se claro que o contorno deve ser suficientemente liso para que a derivada normal possa existir, uma vez que, por exemplo, em pontos de canto no contorno o vetor normal não está bem definido.
ApplicationsEdit
As seguintes aplicações envolvem a utilização de condições de contorno de Neumann:
- Em termodinâmica, um determinado fluxo de calor de uma superfície serviria como condição de contorno. Por exemplo, um isolador perfeito não teria fluxo enquanto um componente elétrico pode estar se dissipando a uma potência conhecida.
- em Magnetostática, a intensidade do campo magnético pode ser prescrita como uma condição limite, a fim de encontrar a distribuição da densidade do fluxo magnético em um conjunto de ímãs no espaço, por exemplo em um Motor Íman Permanente. Uma vez que os problemas na Magnetostática envolvem resolver a equação de Laplace ou a equação de Poisson para o potencial escalar magnético, a condição limite é uma condição de Neumann.