Duffing differentialligning

den mest generelle tvungen form af duffing ligning er

(1)

afhængigt af de valgte parametre kan ligningen tage en række specielle former. For eksempel, uden dæmpning og ingen tvang, og ved at tage plustegnet bliver ligningen

(2)

(1978, s. 547; 1997, s.122). Denne ligning kan vise kaotisk adfærd. For repræsenterer ligningen en “hård fjeder”, og for repræsenterer den en “blød fjeder.”Hvis , er faseportrætkurverne lukket.

hvis vi i stedet tager , , Nulstil uret, så , og brug minustegnet, ligningen er så

(3)

dette kan skrives som et system af første ordens almindelige differentialligninger som

			(4)
			(5)

(1990, s. 5), som i det uforcerede tilfælde reducerer til

			(6)
			(7)

(1990, s. 6; Ott 1993, s.3).

de faste punkter i dette sæt koblede differentialligninger er givet af

(8)

så , og

			(9)
			(10)

giver . De faste punkter er derfor , , og .

analyse af stabiliteten af de faste punkter kan være punkt ved linearisering af ligningerne. Differentiering giver

			(11)
			(12)
			(13)

som kan skrives som matricen ligning

(14)

undersøgelse af punktets stabilitet(0,0):

(15)

(16)

men , så er ægte. Siden , vil der altid være en positiv rod, så dette faste punkt er ustabilt. Se nu på (, 0). Den karakteristiske ligning er

(17)

som har rødder

(18)

for , , så punktet er asymptotisk stabilt. Hvis , , så punktet er lineært stabilt (1990, s. 10). Men hvis , den radikale giver en imaginær del, og den virkelige del er , så punktet er ustabilt. Hvis , , som har en positiv reel rod, så punktet er ustabilt. Hvis , så , så begge rødder er positive, og punktet er ustabilt.