Ecuación Diferencial de Duffing

La forma forzada más general de la ecuación de Duffing es

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Dependiendo de los parámetros elegidos, la ecuación puede tomar un número de formas especiales. Por ejemplo, sin amortiguación ni forzamiento, y tomando el signo más, la ecuación se convierte en

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(Bender y Orszag, 1978, pág. 547; Zwillinger, 1997, pág. 122). Esta ecuación puede mostrar un comportamiento caótico. Para , la ecuación representa un «resorte duro», y para , representa un «resorte suave».»Si , las curvas de retrato de fase están cerradas.

Si en su lugar tomamos , , restablecemos el reloj para que , y usamos el signo menos, la ecuación es entonces

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Esto se puede escribir como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden como

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(Wiggins 1990, p. 5) que, en el caso no forzado, se reduce a

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(Wiggins 1990, pág. 6; Ott 1993, pág. 3).

Los puntos fijos de este conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas están dadas por

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so , y

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dar . Por lo tanto, los puntos fijos son , , y .

El análisis de la estabilidad de los puntos fijos puede ser un punto mediante la linealización de las ecuaciones. La diferenciación da

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que se puede escribir como la ecuación de matriz

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Examinar la estabilidad del punto (0,0):

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Pero , por lo que es real. Desde , siempre habrá una raíz positiva, por lo que este punto fijo es inestable. Ahora mira (, 0). La ecuación característica es

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que tiene raíces

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Para , , por lo que el punto es asintóticamente estable. Si , , por lo que el punto es linealmente estable (Wiggins 1990, p. 10). Sin embargo, si , el radical da una parte imaginaria y la parte real es , por lo que el punto es inestable. Si , , que tiene una raíz real positiva, entonces, el punto es inestable. Si , entonces , por lo que ambas raíces son positivas y el punto es inestable.