ODEEdit
tavalliselle differentiaaliyhtälölle, esimerkiksi
y ”+ y = 0, {\displaystyle y ”+y=0,}
Neumannin reunaehdot intervallilla ovat muotoa
y ”(a) = α, y ”(b) = β, {\displaystyle y ”(a) = \alpha, \quad y ”(b) = \beta ,}
missä α Ja β annetaan numerot.
PDEEdit
osittainen differentiaaliyhtälön, esimerkiksi, ∇ 2 y + y = 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}
missä ∇2 tarkoittaa Laplace-operaattori, Neumann reunaehdot toimialueen Ω ⊂ ℝn muodoltaan
∂ y ∂ n ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ∂ Ω , {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \saatkaikki \mathbf {x} \in \partial \Omega ,}
missä n merkitsee (tyypillisesti ulkopuolen) normaalia rajalle ∂Ω, ja f on annettu skalaarifunktio.
normaali derivaatta, joka näkyy vasemmalla puolella, määritellään seuraavasti:
∂ y ∂ n (x) = ∇ y ( x) ⋅ n ^ (x), {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x}) =\nabla y(\mathbf {x}) \cdot \mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x})} ),}
missä ∇y (x) edustaa Y: n(x) gradienttivektoria, n on yksikön normaali ja ⋅ edustaa sisempää tuoteoperaattoria.
käy selväksi, että rajan on oltava riittävän tasainen, jotta normaali derivaatta voi olla olemassa, koska esimerkiksi rajan kulmapisteissä normaali vektori ei ole hyvin määritelty.
ApplicationsEdit
seuraavissa hakemuksissa käytetään Neumannin reunaehtoja:
- termodynamiikassa reunaehtona toimisi määrätty lämpövirta pinnalta. Esimerkiksi täydellisessä eristeessä ei olisi vuota, kun taas jokin sähkökomponentti saattaa hajota tunnetulla teholla.
- magnetostatiikassa magneettikentän voimakkuus voidaan määrätä reunaehdoksi, jotta voidaan löytää magneettivuon tiheysjakauma avaruudessa olevassa magneettijoukossa, esimerkiksi kestomagneettimoottorissa. Koska magnetostatiikan ongelmiin liittyy Laplacen yhtälön tai Poissonin yhtälön ratkaiseminen magneettiselle skalaaripotentiaalille, reunaehto on Neumannin ehto.