ODEEdit
közönséges differenciálegyenlet, például
y “+ y = 0 , {\displaystyle y”+y=0,}
a Neumann peremfeltételek az intervallum formájában
y ‘ ( a ) = α , y ‘( b ) = β , {\displaystyle y'(a)=\alfa ,\quad y'(b)=\béta ,}
ahol α, illetve β adott számokat.
PDEEdit
egy parciális differenciál-egyenlet, például
∇ 2 y + y = 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}
hol ∇2 jelöli a Laplace operátor, a Neumann peremfeltételek egy domain Ω ⊂ ℝn formájában
∂ y ∂ n ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ∂ Ω , {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \mindazt \mathbf {x} \a \partial \Omega ,}
ahol n jelöli a (jellemzően külső) normált a határhoz képest, és f egy adott skalárfüggvény.
a bal oldalon megjelenő normál derivált definíciója:
\ y \ n (x) = \ y (x) \ n ^ ( x), {\displaystyle {\frac {\parciális y} {\parciális \ mathbf {n} }} (\mathbf {x}) = \ nabla y (\mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x}}} ),}
ahol Y (X) az Y(x) gradiensvektorát jelöli, n az egység normális, és a ++ a belső termék operátort jelenti.
világossá válik, hogy a határnak kellően simanak kell lennie ahhoz, hogy a normál derivált létezzen, mivel például a határ sarokpontjaiban a normál vektor nincs jól meghatározva.
ApplicationsEdit
a következő alkalmazások Neumann peremfeltételek használatát foglalják magukban:
- ban ben termodinamika, egy felületről előírt hőáram szolgálna határfeltétel. Például egy tökéletes szigetelőnek nincs fluxusa, miközben egy elektromos alkatrész ismert teljesítmény mellett disszipálhat.
- ban ben magnetosztatika, a mágneses tér intenzitása határfeltételként írható elő annak érdekében, hogy megtalálják a mágneses fluxus sűrűségeloszlását egy mágneses tömbben az űrben, például egy állandó mágneses motorban. Mivel a magnetosztatika problémái magukban foglalják a megoldást Laplace egyenlete vagy Poisson egyenlete a mágneses skaláris potenciálra, a határfeltétel a Neumann feltétel.