Distribuzione multinomiale, in statistica, una generalizzazione della distribuzione binomiale, che ammette solo due valori (come successo e fallimento), a più di due valori. Come la distribuzione binomiale, la distribuzione multinomiale è una funzione di distribuzione per processi discreti in cui le probabilità fisse prevalgono per ogni valore generato indipendentemente. Sebbene i processi che coinvolgono distribuzioni multinomiali possano essere studiati usando la distribuzione binomiale concentrandosi su un risultato di interesse e combinando tutti gli altri risultati in una categoria (semplificando la distribuzione a due valori), le distribuzioni multinomiali sono più utili quando tutti i risultati sono di interesse.
Le distribuzioni multinomiali sono comuni nelle applicazioni biologiche e geologiche. Ad esempio, il botanico austriaco del 19 ° secolo Gregor Mendel ha incrociato due ceppi di piselli, uno con semi verdi e rugosi e uno con semi gialli e lisci, che hanno prodotto ceppi con quattro semi diversi: verde e rugoso, giallo e rotondo, verde e rotondo e giallo e rugoso. Il suo studio della distribuzione multinomiale risultante lo ha portato a scoprire i principi di base della genetica.
Nei simboli, una distribuzione multinomiale comporta un processo che ha un insieme di k possibili risultati (X1, X2, X3,…, Xk) con probabilità associate (p1, p2, p3,…, pk) tali che Σpi = 1. La somma delle probabilità deve essere uguale a 1 perché uno dei risultati è sicuro che si verifichi. Quindi per n prove ripetute del processo, sia xi indicare il numero di volte in cui si verifica il risultato Xi, soggetto alle restrizioni che 0 ≤ xi ≤ n e Σxi = n. Con questa notazione, la funzione di densità di probabilità congiunta è data da