Dilatazione del tempo: la base per il cosiddetto “paradosso gemello”
All’inizio dello studio della relatività speciale gli studenti apprendono il fenomeno della dilatazione del tempo, cioè che “gli orologi in movimento corrono lenti.”Coloro che hanno correttamente apprezzato il fatto che tutto il movimento è relativo e che hanno correttamente apprezzato che gli orologi misurano il passaggio del tempo fisico (incluso quello biologico), dovrebbero necessariamente provare un certo disagio mentale a questo risultato. Dopotutto, quando due osservatori si passano l’un l’altro, la previsione è che entrambi troveranno gli orologi dell’altro per funzionare più lentamente dei loro. Questo potrebbe sembrare impossibile sul suo volto e, quindi, invalidare l’intera teoria. Tuttavia, un’analisi dettagliata che tiene correttamente conto di altri due effetti relativistici altrettanto peculiari—la contrazione di Lorentz e la relatività della simultaneità-mostra che si può costruire un mondo relativistico perfettamente sensato in cui tutti gli osservatori sono d’accordo sulle uniche cose su cui devono essere d’accordo, inclusi i dettagli degli eventi locali (ad es., quello che gli orologi di ognuno leggono in un’immagine di gruppo) e l’ordine temporale di sequenze causali (per esempio, che è venuto prima, il fulmine o il tuono?)
L’affermazione della cosiddetta “doppia paradosso”
La confusione causata dal fenomeno della dilatazione del tempo a lungo è stato incapsulato nella cosiddetta “doppia paradosso” ha dichiarato quanto segue*:
Uno di una coppia di gemelli (il “viaggio twin”) si reca e ritorna da una destinazione lontana, a velocità prossime a quella della luce (gli “legato alla Terra gemella”) resta a casa. Poiché entrambi i gemelli osservano che l’altro gemello si muove, entrambi scoprono che l’altro sta invecchiando meno rapidamente. Così, al momento della loro riunione, entrambi i gemelli si aspettano-e trovare!- l’altro gemello più giovane. Questo risultato viola i requisiti di un mondo razionale e, quindi, la relatività speciale è sbagliata.
* Perché molta confusione persiste ancora oggi sulle implicazioni della cosiddetta “doppia paradosso,” mi affretto a sottolineare in modo inequivocabile che la cosiddetta “doppia paradosso” non è un paradosso, che non c’è polemica circa la sua risoluzione (come vedremo), e che non è in alcun modo cast sospetto, figuriamoci invalidare la teoria della relatività speciale.
Perché non c’è paradosso
Il cosiddetto “paradosso gemello” si risolve facilmente notando che c’è una disincisione fisicamente significativa tra le esperienze dei due gemelli durante il viaggio. Il gemello legato alla Terra rimane in un unico frame di riferimento di velocità costante per tutto il tempo mentre il gemello viaggiante deve accelerare per girarsi e tornare a casa. L’accelerazione fa sì che il gemello viaggiante cambi da un frame di riferimento a velocità costante a un altro e produce effetti che possono essere misurati localmente dal gemello viaggiante sotto forma di forze inerziali che possono rovesciare le cose, comprimere le molle e generalmente dotare gli oggetti di peso. Come risultato del fatto che le loro esperienze sono diverse, non c’è motivo a priori per loro di giungere alla stessa conclusione.
NB: La “stessa conclusione” a cui mi riferisco qui-quella a cui non arrivano!- è quello di cui alla penultima frase della dichiarazione del cosiddetto “paradosso gemello” sopra, che l’altro gemello sarà trovato più giovane. In effetti, sarebbe intollerabile per la relatività speciale o qualsiasi altra teoria fisica prevedere quella scoperta assolutamente incomprensibile. D’altra parte, poiché entrambi i gemelli, infatti, devono essere d’accordo su ciò che trovano, chiediamo che qualsiasi teoria di successo dovrebbe essere in grado di spiegare quella scoperta da entrambi i punti di vista.
Come risulta, il risultato è che il gemello viaggiante è più giovane al ritorno del gemello legato alla Terra. Questo è facilmente comprensibile dal punto di vista del gemello legato alla Terra che rimane sempre in un unico frame di riferimento a velocità costante rispetto al quale gli orologi del gemello viaggiante sono sempre (tranne che per un istante durante il turnaround) lenti. Ma come comprendiamo questa conclusione dal punto di vista del gemello viaggiante?
Diagrammi spaziotempo
Uno dei modi più illuminanti per comprendere la risoluzione del cosiddetto “paradosso gemello” è analizzando accuratamente disegnati, diagrammi spaziotempo dettagliati per scelte specifiche di distanza percorsa e velocità. L’ho fatto di seguito per un viaggio di tre anni luce intrapreso ad una velocità di 3/5 c (dando un fattore relativistico γ = 5/4) in entrambe le direzioni e con un “tempo di ritorno” di durata trascurabile. (L’approssimazione del tempo di consegna trascurabile può benissimo portare a “forze g” anatomicamente irrealistiche (!) e può essere rilassato a scapito della complessità computazionale aggiuntiva, ma non fa alcuna differenza qualitativa nel risultato.)
In questo caso il gemello terrestre (EBT) rileva che il gemello viaggiante (TT) impiega cinque anni per raggiungere la destinazione e cinque anni per tornare per un totale di dieci anni. Durante questo periodo gli orologi del TT corrono lenti di un fattore di 1 / γ = 4/5 in modo che il TT invecchia di otto anni, quattro anni per ogni tappa del viaggio, ed è, quindi, due anni più giovane alla riunione.
La vista dal quadro di riferimento della Terra
Il pannello di sinistra della figura sottostante (su cui è possibile fare clic per aprire una versione più grande in una nuova finestra), mostra le linee del mondo dell’EBT e del TT nel quadro di riferimento della Terra. Si noti che il TT raggiunge la destinazione ad una distanza di tre anni luce dopo un tempo trascorso di cinque anni in questo quadro e che il TT ha invecchiato solo quattro anni a quel punto. Si noti inoltre che la scala degli assi x e t è tale che la luce viaggia lungo le linee con un angolo di 45 gradi, cioè, 1 anno per anno luce, e che le linee del mondo del TT hanno una pendenza maggiore (che rappresenta una velocità inferiore) di 5/3 anni per anno luce.
Poiché la figura è tratta dal quadro di riferimento della Terra, le linee orizzontali rappresentano raccolte di eventi che si verificano contemporaneamente, cioè “linee di simultaneità” per l’EBT. La figura, tuttavia, include anche alcune righe di simultaneità nel quadro di riferimento del TT come mostrato in grigio. A causa della relatività della simultaneità, queste linee sono inclinate e corrono da sinistra in basso a destra in alto durante la gamba in uscita e da destra in basso a sinistra in alto durante la gamba in entrata. In entrambi i casi la pendenza è l’inverso di quella della linea del mondo TT, 3/5 anni per anno luce. Ad esempio, si noti che una di queste righe indica che nel momento in cui il TT invia il terzo segnale annuale, il TT direbbe che l’orologio dell’EBT legge 2,4 anni come dovrebbe essere previsto poiché il TT dice che l’orologio dell’EBT è “in movimento” e, quindi, lento. Si noti infine che ci sono due linee di simultaneità che collegano il punto di ritorno, una per la gamba in uscita e una per la gamba in entrata. Indicano che l’istante di simultaneità dell’EBT nel frame del TT salta rapidamente da 3,2 anni a 6,8 anni durante il turnaround mentre il TT si sposta da un frame di riferimento a un altro.
Sia l’EBT che il TT si inviano segnali luminosi a intervalli annuali come indicato rispettivamente dalle linee rosse e blu e ogni trasmissione è contrassegnata con il numero dell’anno in cui è stata inviata. Si noti che il TT riceve solo i primi due segnali dall’EBT sulla gamba in uscita e riceve tutti gli otto segnali rimanenti sulla gamba in entrata con l’ultimo, decimo, segnale ricevuto al momento della riunione. Si noti inoltre che l’EBT riceve l’ultimo dei quattro segnali in uscita (incluso il quarto al punto di turnaround) all’ottavo anno e riceve i quattro segnali in entrata solo negli ultimi due anni.
Quindi, vediamo che l’EBT riceve segnali al ritmo di uno ogni due anni per i primi otto anni e poi ad un tasso di due all’anno per gli ultimi due anni. Ciò equivale a un totale di (1/2)*8 + (2)*2 = 8 segnali ricevuti dal TT. D’altra parte il TT riceve segnali anche al ritmo di uno ogni due anni solo per i primi quattro anni e poi ad un ritmo di due all’anno per gli ultimi quattro anni. Ciò equivale a un totale di (1/2)*4 + (2)*4 = 10 segnali ricevuti dall’EBT.
Vale la pena notare il fatto che entrambi i gemelli concordano sul fatto che ricevono segnali ad una velocità di 1/2 all’anno (bassa frequenza) quando questi segnali riflettono il movimento relativo l’uno dall’altro ed entrambi i gemelli concordano anche sul fatto che ricevono segnali ad una velocità di 2 all’anno (alta frequenza) quando questi segnali riflettono il movimento relativo La differenza è che, per il TT, i segnali a bassa e alta frequenza occupano parti uguali del viaggio mentre, per l’EBT, i segnali a bassa frequenza sono osservati durante l ‘ 80% del viaggio.
La vista dal quadro di riferimento del viaggiatore in uscita
Il pannello di destra della figura, mostra le linee del mondo dell’EBT e del TT nel quadro di riferimento in uscita. Si noti che, in questo quadro di riferimento, la riunione avviene 12,5 anni dopo la partenza in linea con il fatto che gli orologi dell’EBT corrono lenti per tutto il tempo. Il TT, tuttavia, lascia questo quadro di riferimento al turnaraound point quattro anni dopo il viaggio quando l’orologio dell’EBT legge 3.2 anni come precedentemente notato. Si noti inoltre che l’EBT è 2.4 anni luce di distanza in questo momento, la più grande separazione del viaggio in questo telaio, riflettendo correttamente la contrazione di Lorentz della distanza di 3 anni luce osservata nel quadro di riferimento della Terra.
Sulla gamba in entrata, il TT si muove ad una velocità di -15/17 c come ottenuto dall’aggiunta relativistica delle velocità -3/5 c e -3/5 c. Durante questo periodo gli orologi del TT corrono lenti di un fattore di 1/γ = 17/8, che si riflette nel fatto che ci vogliono poco più di due anni per l’orologio del TT per avanzare ogni anno aggiuntivo. Le linee del mondo per i segnali luminosi vengono nuovamente mostrate insieme alle linee di simultaneità per il TT e confermano ogni caratteristica precedentemente annotata nel diagramma spaziotempo per il quadro di riferimento della Terra.
Relazione all’effetto Doppler relativistico e un altro modo per predire il differenziale di invecchiamento
è più interessante notare che, non importa a che velocità viene utilizzato in uscita e in entrata gambe, il TT riceve i segnali a un tasso di fout < fo (la frequenza di trasmissione) per la metà del viaggio e ad un tasso di fin = 1/fout > fo per l’altra metà. Così, la frequenza media è (fout+fin)/2 che è prontamente dimostrato di essere maggiore di fo. Questo assicura che il TT riceverà più segnali durante il viaggio poi invia e sarà, quindi, si aspettano di trovare l “EBT di essere più vecchio alla riunione, in perfetta armonia con ciò che l” EBT si aspetta di trovare.
Infatti, si può usare la formula Doppler relativistica fout = fo 1/2 direttamente per prevedere il differenziale di età relativa. Ad esempio, ad una velocità di 12/13 c, fout = fo 1/2 = (1/5)fo. Di conseguenza, la frequenza media ricevuta dal TT è (1/5+5)fo/2 = (13/5)fo che implica (correttamente) che l’EBT avrà invecchiato 13/5 tanto quanto il TT.