ODEEdit
常微分方程式に対して、例えば
y”+y=0{\displaystyle y”+y=0{\displaystyle y”+y=0{\displaystyle Y”+y=0{\displaystyle Y”+y=0}{\displaystyle Y”+y=0}{\displaystyle Y”+y=0}{\displaystyle Y”+y=0}{\displaystyle Y”+y=0}{\displaystyle=0,}
区間上のノイマン境界条件は、
y'(a)=α,y'(b)=β,{\displaystyle y'(a)=\alpha,\quad y'(b)=\beta}の形をとる。,}
ここで、αとβは与えられた数である。
PDEEdit
のための偏微分方程式、例えば、
∇2y+y=0,{\displaystyle\nabla^{2}y+y=0,}
が∇2を意味するラプラス演算子 のノイマン境界条件にドメインΩ⊂ℝnの
∂y∂n(x)=f(x)∀x∈∂Ω{\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial\mathbf{n}}}(\mathbf{x})=f(\mathbf{x})\quad\forall\mathbf{x}\in\partial\Omega,}
ここで、nは境界∂Ωに対する（典型的には外部の）法線を表し、fは与えられたスカラー関数である。
左辺に現れる正規導関数は
∂y∂n(x)=∂y(x)∂n^(x){\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial\mathbf{n}}}(\mathbf{x})=\nabla y(\mathbf{x})\cdot\mathbf{\hat{n}}(\mathbf{x})と定義される。} ),}
ここで、θ y(x)はy(x)の勾配ベクトルを表し、nは単位法線であり、θは内積演算子を表します。
例えば、境界上の角点では法線ベクトルが明確に定義されていないため、境界は正規導関数が存在するように十分に滑らかでなければならないこと
ApplicationsEdit
以下のアプリケーションには、ノイマン境界条件の使用が含まれます:
- 熱力学では、表面からの所定の熱流束が境界条件として役立つであろう。 例えば、完全な絶縁体は磁束を有さないが、電気部品は既知の電力で消散している可能性がある。
- 永久磁石モータなどの空間内の磁石アレイ内の磁束密度分布を求めるために、磁場強度を境界条件として規定することができます。 磁気静力学の問題は、磁気スカラーポテンシャルに対するラプラス方程式またはポアソン方程式を解くことを含むので、境界条件はノイマン条件である。