1.12: metoda rozkładu momentu analizy konstrukcji

Rozdział 12

metoda rozkładu momentu analizy konstrukcji

12.1 podstawowe pojęcia

metoda rozkładu momentu analizy belek i RAM została opracowana przez Hardy Cross i formalnie przedstawiona w 1930 roku. Chociaż metoda ta jest metodą deformacji, podobnie jak metoda nachylenia-ugięcia, jest to metoda przybliżona, a zatem nie wymaga rozwiązywania równań symultanicznych, jak to miało miejsce w przypadku tej drugiej metody. Stopień dokładności wyników uzyskanych metodą rozkładu momentu zależy od liczby kolejnych przybliżeń lub procesu iteracji.

aby zilustrować koncepcję metody rozkładu momentu, rozważ ramkę pokazaną na rysunku 12.1. Elementy ramy są pryzmatyczne i zakłada się, że nie odkształcają się osiowo ani nie przekładają względem siebie. Złącza ACD ramy są stałe, podczas gdy złącze B może się lekko obracać ze względu na przyłożone obciążenie. Po pierwsze, przed przeprowadzeniem rozkładu momentu między prętami zakłada się, że wszystkie połączenia są tymczasowo zablokowane za pomocą zacisku.

Fig. 12.1. Ramka.

12.2 Konwencja znaku

konwencja znaku dla metody rozkładu momentu jest podobna do tej ustanowionej dla metody nachylenia-ugięcia; oznacza to, że moment na końcu członka jest uważany za pozytywny, jeśli ma tendencję do obracania końca członka zgodnie z ruchem wskazówek zegara i ujemny, jeśli ma tendencję do obracania go w lewo.

12.3 definicje

momenty niezrównoważone: ta metoda analizy zakłada, że połączenia w strukturze są początkowo zaciskane lub blokowane, a następnie uwalniane sukcesywnie. Po zwolnieniu złącza następuje rotacja, ponieważ suma stałych momentów końcowych spotkania członków w tym złączu nie jest równa zeru. Wartością sumy uzyskanych momentów końcowych jest moment niezrównoważony w tym połączeniu.

momenty przeniesienia: rozłożone momenty na końcach spotkania członków na wspólnej powodują momenty na pozostałych końcach, które przyjmuje się za stałe. Te wywołane momenty na innych końcach nazywane są momentami przenoszonymi.

Fig. 12.2. Nieobciążona wiązka pryzmatyczna.

należy rozważyć nieobciążoną wiązkę pryzmatyczną zamocowaną na końcu B, jak pokazano na rysunku 12.2. Jeżeli na lewy koniec wiązki przyłożony jest moment M1, to równania nachylenia i ugięcia dla obu końców wiązki można zapisać następująco:

podstawiając z równania 12.1 do równania 12.2 sugerujemy, co następuje:

równanie 12.3 sugeruje, że moment przenoszony na stały koniec wiązki spowodowany momentem przyłożonym na drugim końcu jest równy połowie przyłożonego momentu.

Współczynnik przeniesienia: stosunek momentu wywołanego do momentu przyłożonego jest określany jako współczynnik przeniesienia. Dla wiązki przedstawionej na rysunku 12.2 współczynnik przeniesienia jest następujący:

Współczynnik rozproszony (DF): Współczynnik rozproszony jest czynnikiem stosowanym do określenia proporcji niezrównoważonego momentu niesionego przez każdego z członków na wspólnym posiedzeniu. W przypadku spotkania członków na wspólnym O ramki pokazanej na rysunku 12.3 ich współczynniki rozkładu oblicza się w następujący sposób:

Fig. 12.3. Ramka.

momenty rozłożone: po zwolnieniu wyimaginowanego zacisku w stawie, niezrównoważony moment w tym stawie powoduje jego obrót. Rotacja skręca koniec spotkania członków na wspólnej, co powoduje rozwój momentów oporu. Te momenty oporu nazywane są momentami rozproszonymi. Momenty rozłożone dla elementów ramki pokazanej na rysunku 12.3 oblicza się w następujący sposób:

12.4 modyfikacja sztywności prętów

czasami proces iteracji w metodzie rozkładu momentu można znacznie zmniejszyć poprzez regulację sztywności zginania niektórych prętów nieokreślonej struktury. W tej sekcji rozważa się wpływ stałego i sworzniowego wspornika na sztywność zginaną nieokreślonej belki.

Przypadek 1: Belka zawieszona na jednym końcu i zamocowana na drugim

Fig. 12.4. Belka

rozważmy belkę zawiasową na końcu A i zamocowaną na końcu B, jak pokazano na rysunku 12.4. Zastosowanie momentu M obraca koniec zawiasu o kwotę θ. Pisząc równanie nachylenia-ugięcia dla końca a pręta i zauważając, że sugeruje co następuje:

z definicji sztywność zginania elementu konstrukcyjnego jest momentem, który musi być zastosowany do końca elementu, aby spowodować jednostkowy obrót tego końca. Następujące wyrażenie dla sztywności zginania dla pręta o stałym Dalekim końcu wyraża się w następujący sposób, gdy podstawia θA = 1 do równania 12.7:

z definicji względną sztywność zginania pręta określa się przez podzielenie sztywności zginania pręta przez 4E. podzielenie równania 12.8 przez 4E sugeruje następujące wyrażenie dla względnej sztywności dla rozważanego przypadku:

Przypadek 2: belka zawieszona na obu końcach

Fig. 12.5. Po prostu podparta belka.

przyłożenie momentu M na końcu a prostej podpartej wiązki pokazanej na rysunku 12.5 obraca wiązkę o kąt θA na zawiasach. Stosując zmodyfikowane równanie nachylenia-ugięcia zawarte w sekcji 11.4 rozdziału 11 i zauważając, że sugeruje następujące wyrażenie dla momentu na zawiasowym końcu, w którym obciążenie jest przykładane:

Podstawienie θA = 1 do równania 12.10 sugeruje następujące wyrażenie dla sztywności zginania dla elementu z zawiasowym skrajnym końcem:

względną sztywność dla pręta z zawiasowym skrajnym końcem uzyskuje się przez podzielenie równania 12.11 przez 4E, w następujący sposób:

porównanie równań 12.12 i 12.9 sugeruje, że człon z zawiasowym skrajnym końcem jest o trzy czwarte sztywny jak człon o tej samej geometrii, ale ustalony na skrajnym końcu. Ten ustalony fakt może znacznie zmniejszyć liczbę iteracji podczas analizowania belek lub Ram z zawiasowym skrajnym końcem za pomocą metody rozkładu momentu. W takich przypadkach względną sztywność belki na Bliskim końcu reguluje się najpierw zgodnie ze wzorem 12.12, a jej współczynnik rozkładu oblicza się z dostosowaną sztywnością. Podczas operacji równoważenia Bliski koniec zostanie zrównoważony tylko raz, bez dalszego przenoszenia momentów z lub do końca.

12.5 Analiza wiązek nieokreślonych

procedura analizy wiązek nieokreślonych metodą rozkładu momentu jest krótko podsumowana w następujący sposób:

procedura analizy wiązek nieokreślonych metodą rozkładu momentu

przykład 12.1

przykład 12.2

12.6 Analiza nieokreślonych ramek

procedura analizy ramek przy użyciu metody rozkładu momentu zależy od rodzaju analizowanej ramki. Ramki są klasyfikowane jako ramki kołyszące lub bez kołyszące. Procedura analizy RAM bez kołysania jest podobna do tej W przypadku belek nieokreślonych. Ale w przypadku analizy RAM kołysania procedura jest inna. W analizie RAM kołysania biorą udział dwa etapy, a mianowicie etap bez kołysania i analiza kołysania. Etapy te są opisane poniżej.

procedura analizy nieokreślonych ramek kołysania za pomocą metody rozkładu momentu

przykład 12.3

przykład 12. 4

przykład 12.5

przykład 12.6

przykład 12.7

podsumowanie rozdziału

rozkład momentu metoda analizy nieokreślonych struktur: rozkład momentu metoda analizy jest przybliżoną metodą analizy. Jego stopień dokładności zależy od liczby iteracji. W tej metodzie zakłada się, że wszystkie połączenia w konstrukcji są tymczasowo zablokowane lub zaciśnięte, a tym samym uniemożliwia się ich obrót. Obciążenia są przykładane do prętów, a momenty rozwinięte na końcach prętów ze względu na mocowanie są określane. Stawy w strukturze są następnie sukcesywnie odblokowane, a niezrównoważony moment przy każdym stawie jest rozdzielany na spotkania członków w tym stawie. Momenty przenoszenia na odległych końcach członków są określane, a proces równoważenia jest kontynuowany aż do pożądanego poziomu dokładności. Momenty końcowe członków są określane przez zsumowanie momentu stałego końca, momentu rozproszonego i momentu przeniesienia. Po określeniu momentów końcowych członków struktura staje się zdeterminowana.

Problemy Z Ćwiczeniami

12.1 użyj metody rozkładu momentu, aby obliczyć moment końcowy prętów belek pokazanych na rysunku P12. 1 do rysunku P12. 12 i narysować wykresy momentu zginającego i siły ścinającej. EI = stała.

Fig. P12. 1. Belka.

Fig. P12. 2. Belka.

Fig. P12. 3. Belka.

Fig. P12. 4. Belka.

Fig. P12. 5. Belka.

Fig. P12. 6. Belka.

Fig. P12. 7. Belka.

Fig. P12. 8. Belka.

Fig. P12. 9. Belka.

Fig. P12. 10. Belka.

Fig. P12. 11. Belka.

Fig. P12. 12. Belka.

12.2 użyj metody rozkładu momentu do obliczenia momentu końcowego prętów RAM pokazanych na rysunku P12.13 do rysunku 12.20 i narysuj diagramy momentu zginającego i siły ścinającej. EI = stała.

Fig. P12. 13. Ramka.

Fig. P12. 14. Ramka.

Fig. P12. 15. Ramka.

Fig. P12.16. Frame.

Fig. P12.17. Frame.

Fig. P12.18. Frame.

Fig. P12.19. Frame.

Fig. P12.20. Frame.