Equação diferencial de Duffing

a forma mais geral forçada da equação de Duffing é

(1)

Dependendo dos parâmetros escolhidos, a equação pode assumir várias formas especiais. Por exemplo, sem amortecimento e sem forçamento, e tomando o sinal mais, a equação torna-se

(2)

(Bender e Orszag 1978, p. 547; Zwillinger 1997, p. 122). Esta equação pode mostrar um comportamento caótico. Para , a equação representa uma “mola dura”, e para , representa uma “suave da primavera.”If, the phase portrait curves are closed.

Se, em vez disso, tomamos , , redefinir o relógio para que , e usar o sinal de menos, a equação é então

(3)

Esta pode ser escrita como um sistema de primeira ordem, equações diferenciais ordinárias, como

			(4)
			(5)

(Wiggins 1990, p. 5) que, a não forçados caso, se reduz a

			(6)
			(7)

(Wiggins 1990, p. 6; Ott, 1993, p. 3).

os pontos fixos deste conjunto de equações diferenciais acopladas são dados por

(8)

portanto, , e

			(9)
			(10)

dando . Por conseguinte, os pontos fixos são, , e .

a análise da estabilidade dos pontos fixos pode ser ponto linearizando as equações. Diferenciar dá

			(11)
			(12)
			(13)

que pode ser escrita como a equação matricial

(14)

Examinar a estabilidade do ponto de (0,0):

(15)

(16)

Mas , então é real. Uma vez que , haverá sempre uma raiz positiva, de modo que este ponto fixo é instável. Agora olha para (, 0). A equação característica é

(17)

que tem raízes

(18)

Para , , então o ponto é assintoticamente estável. Se , , então o ponto é linearmente estável (Wiggins 1990, p. 10). No entanto, se , o radical dá uma parte imaginária e a parte real é , então o ponto é instável. Se , , que tem uma raiz real positiva, então o ponto é instável. Se , então , então ambas as raízes são positivas e o ponto é instável.