ODEEdit
pentru o ecuație diferențială obișnuită, de exemplu,
y „+ y = 0, {\displaystyle y „+ y=0,}
condițiile limită Neumann de pe interval iau forma
y ‘( a) = hectolix , y ‘(b ) = hectolix, {\displaystyle y'(a) = \ alfa, \ quad y'(b) = \ beta ,}
în cazul în care sunt indicate numerele de circulație a numerelor de circulație a mărfurilor.
PDEEdit
Pentru o ecuatie cu derivate partiale, de exemplu,
∇ 2 y + y = 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}
unde ∇2 denotă operatorul Laplace, Neumann condițiile la limită într-un domeniu Ω ⊂ y, z ia forma
∂ y ∂ n ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ∂ Ω , {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \pentrutoate \mathbf {x} \in \partial \Omega ,}
unde n denotă (de obicei exterior) normal până la limita centimetrul, iar F este o funcție scalară dată.
derivata normală, care apare pe partea stângă, este definită ca
y ( x) = y ( x), {\displaystyle {\frac {\partial y} {\partial \ mathbf {n} }} (\mathbf {x}) = \ nabla y (\mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x} ),}
unde x(x) reprezintă vectorul gradient al lui y(X), n este unitatea normală, iar XX reprezintă operatorul intern al produsului.
devine clar că limita trebuie să fie suficient de netedă, astfel încât derivata normală să poată exista, deoarece, de exemplu, la punctele de colț de pe limită vectorul normal nu este bine definit.
ApplicationsEdit
următoarele aplicații implică utilizarea condițiilor limită Neumann:
- în termodinamică, un flux de căldură prescris de pe o suprafață ar servi drept condiție limită. De exemplu, un izolator perfect nu ar avea flux în timp ce o componentă electrică poate disipa la o putere cunoscută.
- în magnetostatice, Intensitatea câmpului magnetic poate fi prescrisă ca o condiție limită pentru a găsi distribuția densității fluxului magnetic într-o matrice de magneți în spațiu, de exemplu într-un motor cu magnet permanent. Deoarece problemele din magnetostatică implică rezolvarea ecuației lui Laplace sau a ecuației lui Poisson pentru potențialul scalar magnetic, condiția limită este o condiție Neumann.