ODEEdit
Für eine gewöhnliche Differentialgleichung zum Beispiel
y “ + y = 0 , {\displaystyle y“+y=0,}
die Neumann-Randbedingungen auf dem Intervall haben die Form
y‘ ( a ) = α , y ‚ (b ) = β , {\displaystyle y'(a)=\alpha ,\quad y'(b)=\beta ,}
wobei α und β Zahlen sind.
PDEEdit
Für eine partielle differential-Gleichung, zum Beispiel,
∇ 2 y + y = 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}
wo ∇2 bezeichnet den Laplace-operator, die Neumann-Randbedingungen auf einem domain Ω ⊂ ℝn in der form
∂ y ∂ n ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ∂ Ω , {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \vec {n} }}(\vec {x} )=f(\vec {x} )\quad \forall \vec {x} \in \partial \Omega ,}
wobei n die (typischerweise äußere) Normale zur Grenze ∂Ω bezeichnet und f eine gegebene Skalarfunktion ist.
Die normale Ableitung, die auf der linken Seite erscheint, ist definiert als
∂ y ∂ n ( x ) = ∇ y ( x ) ⋅ n ^ ( x ) , {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {\hat {n}} (\} ),}
wobei ∇y (x) den Gradientenvektor von y (x) darstellt, n die Einheitennormale ist und ⋅ den inneren Produktoperator darstellt.
Es wird deutlich, dass die Grenze so glatt sein muss, dass die normale Ableitung existieren kann, da beispielsweise an Eckpunkten der Grenze der Normalenvektor nicht gut definiert ist.
Anwendungenbearbeiten
Die folgenden Anwendungen beinhalten die Verwendung von Neumann-Randbedingungen:
- In der Thermodynamik würde ein vorgeschriebener Wärmefluss von einer Oberfläche als Randbedingung dienen. Zum Beispiel würde ein perfekter Isolator keinen Fluss haben, während eine elektrische Komponente bei einer bekannten Leistung zerstreut werden kann.
- In der Magnetostatik kann die magnetische Feldstärke als Randbedingung vorgegeben werden, um die magnetische Flussdichteverteilung in einer Magnetanordnung im Raum, beispielsweise in einem Permanentmagnetmotor, zu finden. Da die Probleme in der Magnetostatik das Lösen der Laplace-Gleichung oder der Poisson-Gleichung für das magnetische Skalarpotential beinhalten, ist die Randbedingung eine Neumann-Bedingung.