ODEEdit
Para una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo,
y «+ y = 0 , {\displaystyle y»+y=0,}
las condiciones de contorno de Neumann en el intervalo de tomar la forma
y ‘ ( a ) = α , y ‘( b ) = β , {\displaystyle y'(a)=\alpha ,\quad y'(b)=\beta ,}
donde α y β son números dados.
PDEEdit
Para una ecuación diferencial parcial, por ejemplo,
∇ 2 y + y = 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}
donde ∇2 denota el operador de Laplace, las condiciones de contorno de Neumann en un dominio Ω ⊂ ℝn tomar la forma
∂ y ∂ n ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ∂ Ω , {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \in \partial \Omega ,}
donde n denota la (típicamente exterior) normal al límite ∂Ω, y f es una función escalar dada.
La normal de derivados, que se muestra en el lado izquierdo, se define como
∂ y ∂ n ( x ) = ∇ y ( x ) ⋅ n ^ ( x ) , {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x} ),}
donde ∇y(x) representa el vector gradiente de y(x), n es la unidad normal, y ⋅ representa el producto interior operador.
Queda claro que el límite debe ser lo suficientemente liso para que pueda existir la derivada normal, ya que, por ejemplo, en los puntos de esquina del límite, el vector normal no está bien definido.
Aplicacioneseditar
Las siguientes aplicaciones implican el uso de condiciones de contorno Neumann:
- En termodinámica, un flujo de calor prescrito de una superficie serviría como condición límite. Por ejemplo, un aislante perfecto no tendría flujo, mientras que un componente eléctrico podría disiparse a una potencia conocida.
- En la magnetoestática, la intensidad del campo magnético se puede prescribir como condición límite para encontrar la distribución de la densidad de flujo magnético en una matriz de imanes en el espacio, por ejemplo, en un motor de imán permanente. Dado que los problemas en la magnetostática implican resolver la ecuación de Laplace o la ecuación de Poisson para el potencial escalar magnético, la condición de límite es una condición de Neumann.