Le mathématicien russe Nikolai Ivanovich Lobachevskii (1792-1856) a été l’un des premiers à fonder un système interne cohérent de géométrie non euclidienne. Ses idées révolutionnaires ont eu de profondes implications pour la physique théorique, en particulier la théorie de la relativité.
Nikolai Lobachevskii est né le déc. 2 (N.-É.; Nov. 21, O.S.), 1792, à Nijni Novgorod (aujourd’hui Gorkii) dans une famille pauvre d’un fonctionnaire du gouvernement. En 1807, Lobachevskii entra à l’Université de Kazan pour étudier la médecine. Cependant, l’année suivante, Johann Martin Bartels, professeur de mathématiques pures, est arrivé d’Allemagne à l’Université de Kazan. Il fut bientôt suivi par l’astronome J. J. Littrow. Sous leur instruction, Lobachevskii s’est engagé de manière permanente dans les mathématiques et les sciences. Il a terminé ses études à l’université en 1811, obtenant le diplôme de maîtrise en physique et en mathématiques.
En 1812, Lobachevskii termine son premier article, « The Theory of Elliptical Motion of Heavenly Bodies. »Deux ans plus tard, il a été nommé professeur adjoint à l’Université de Kazan et, en 1816, il a été promu professeur extraordinaire. En 1820, Bartels part pour l’Université de Dorpat (aujourd’hui Tartu en Estonie), ce qui fait que Lobachevskii devient le principal mathématicien de l’université. Il est devenu professeur titulaire de mathématiques pures en 1822, occupant la chaire laissée vacante par Bartels.
Postulat parallèle d’Euclide
La grande contribution de Lobachevskii au développement des mathématiques modernes commence par le cinquième postulat (parfois appelé axiome XI) dans les Éléments d’Euclide. Une version moderne de ce postulat se lit comme suit: À travers un point situé en dehors d’une ligne donnée, une seule ligne peut être tracée parallèlement à la ligne donnée.
Depuis l’apparition des Éléments il y a plus de 2 000 ans, de nombreux mathématiciens ont tenté de déduire le postulat parallèle en tant que théorème à partir d’axiomes et de postulats précédemment établis. Le néoplatonicien grec Proclus rapporte dans son Commentaire sur le Premier Livre d’Euclide les géométries qui étaient insatisfaites de la formulation par Euclide du postulat parallèle et de la désignation de l’énoncé parallèle comme postulat légitime. Les Arabes, qui sont devenus les héritiers de la science et des mathématiques grecques, étaient divisés sur la question de la légitimité du cinquième postulat. La plupart des géomètres de la Renaissance ont répété les critiques et les « preuves » de Proclus et des Arabes concernant le cinquième postulat d’Euclide.
Le premier à tenter une preuve du postulat parallèle par une reductio ad absurdum fut Girolamo Saccheri. Son approche a été poursuivie et développée de manière plus profonde par Johann Heinrich Lambert, qui a produit en 1766 une théorie des lignes parallèles qui se rapprochait d’une géométrie non euclidienne. Cependant, la plupart des géomètres qui se sont concentrés sur la recherche de nouvelles preuves du postulat parallèle ont découvert qu’en fin de compte leurs « preuves » consistaient en des assertions qui elles-mêmes nécessitaient une preuve ou n’étaient que des substitutions au postulat original.
Vers une géométrie non euclidienne
Karl Friedrich Gauss, qui était déterminé à obtenir la preuve du cinquième postulat depuis 1792, a finalement abandonné la tentative en 1813, suivant plutôt l’approche de Saccheri d’adopter une proposition parallèle qui contredisait celle d’Euclide. Finalement, Gauss a réalisé que des géométries autres qu’euclidiennes étaient possibles. Ses incursions dans la géométrie non euclidienne n’ont été partagées qu’avec une poignée de correspondants partageant les mêmes idées.
De tous les fondateurs de la géométrie non euclidienne, Lobachevskii eut à lui seul la ténacité et la persévérance de développer et de publier son nouveau système de géométrie malgré les critiques défavorables du monde académique. D’après un manuscrit écrit en 1823, on sait que Lobachevskii ne s’intéressait pas seulement à la théorie des parallèles, mais qu’il réalisait alors que les preuves suggérées pour le cinquième postulat « n’étaient que des explications et n’étaient pas des preuves mathématiques au vrai sens du terme. »
Les déductions de Lobachevskii ont produit une géométrie, qu’il a appelée « imaginaire », cohérente et harmonieuse en interne, mais différente de la géométrie traditionnelle d’Euclide. En 1826, il présente l’article « Brève Exposition des Principes de la Géométrie avec des Preuves vigoureuses du Théorème des Parallèles. » Il affine sa géométrie imaginaire dans des travaux ultérieurs, datant de 1835 à 1855, le dernier étant la pangeométrie. Gauss a lu les Recherches géométriques de Lobachevskii sur la Théorie des Parallèles, publiées en allemand en 1840, en a fait l’éloge dans des lettres à des amis et a recommandé le géomètre russe à l’adhésion à la Société scientifique de Göttingen. Mis à part Gauss, la géométrie de Lobachevskii n’a reçu pratiquement aucun soutien du monde mathématique de son vivant.
Dans son système de géométrie, Lobachevskii a supposé qu’à travers un point donné situé en dehors de la ligne donnée, au moins deux lignes droites peuvent être tracées qui ne coupent pas la ligne donnée. En comparant la géométrie d’Euclide à celle de Lobachevskii, les différences deviennent négligeables à mesure que des domaines plus petits sont approchés. Dans l’espoir d’établir une base physique pour sa géométrie, Lobachevskii a eu recours à des observations et des mesures astronomiques. Mais les distances et les complexités impliquées l’ont empêché de réussir. Néanmoins, en 1868, Eugenio Beltrami a démontré qu’il existe une surface, la pseudosphère, dont les propriétés correspondent à la géométrie de Lobatchevskii. La géométrie de Lobachevskii n’était plus une construction purement logique, abstraite et imaginaire; elle décrivait des surfaces avec une courbure négative. Avec le temps, la géométrie de Lobachevskii a trouvé une application dans la théorie des nombres complexes, la théorie des vecteurs et la théorie de la relativité.
Philosophie et perspectives
L’incapacité de ses collègues à répondre favorablement à sa géométrie imaginaire ne les a nullement dissuadés de respecter et d’admirer Lobachevskii en tant qu’administrateur exceptionnel et membre dévoué de la communauté éducative. Avant qu’il ne prenne ses fonctions de recteur, le moral des professeurs était au plus bas. Lobachevskii a restauré l’Université de Kazan à une place de respectabilité parmi les établissements d’enseignement supérieur russes. Il a cité à plusieurs reprises la nécessité d’éduquer le peuple russe, la nécessité d’une éducation équilibrée et la nécessité de libérer l’éducation de l’ingérence bureaucratique.
La tragédie a obstrué la vie de Lobachevskii. Ses contemporains le décrivaient comme travailleur et souffrant, rarement relaxant ou faisant preuve d’humour. En 1832, il épouse Varvara Alekseevna Moiseeva, une jeune femme issue d’une famille aisée, éduquée, colérique et peu attrayante. La plupart de leurs nombreux enfants étaient fragiles et son fils préféré est mort de tuberculose. Il y a eu plusieurs transactions financières qui ont apporté la pauvreté à la famille. Vers la fin de sa vie, il perdit la vue. Il est décédé à Kazan le février. 24, 1856.
La reconnaissance de la grande contribution de Lobachevskii au développement de la géométrie non euclidienne est intervenue une douzaine d’années après sa mort. Peut-être le plus bel hommage qu’il ait jamais reçu est venu du mathématicien et philosophe britannique William Kingdon Clifford, qui a écrit dans ses conférences et essais: « Ce que Vésale était pour Galien, ce que Copernic était pour Ptolémée, c’était Lobatchevski pour Euclide. »