den russiske matematiker Nikolai Ivanovich Lobachevskii (1792-1856) var en af de første, der fandt et internt konsistent system med ikke-euklidisk geometri. Hans revolutionære ideer havde dybe konsekvenser for teoretisk fysik, især relativitetsteorien.
Nikolai Lobachevskii blev født den Dec. 2 (N. S.; Nov. 21, O. S.), 1792, i Nisjni Novgorod (nu Gorkii) ind i en fattig familie af en embedsmand. I 1807 Lobachevskii indtastet Kasan Universitet for at studere medicin. Men det følgende år Johann Martin Bartels, en lærer i ren matematik, ankom til Kasan Universitet fra Tyskland. Han blev hurtigt efterfulgt af astronomen J. J. Littrove. Under deres instruktion gjorde Lobachevskii en permanent forpligtelse til matematik og videnskab. Han afsluttede sine studier på universitetet i 1811, tjener graden af master of physics and mathematics.
i 1812 sluttede Lobachevskii sit første papir, “teorien om elliptisk bevægelse af himmellegemer.”To år senere blev han udnævnt til adjunkt ved Kasan Universitet, og i 1816 blev han forfremmet til ekstraordinær professor. I 1820 Bartels tilbage til University of Dorpat (nu Tartu i Estland), hvilket resulterer i Lobachevskii bliver den førende matematiker af universitetet. Han blev fuld professor i ren matematik i 1822, besætter stolen fraflyttet af Bartels.
Euclids parallelle postulat
Lobachevskiis store bidrag til udviklingen af moderne matematik begynder med det femte postulat (undertiden benævnt aksiom) i Euclids Elementer. En moderne version af dette postulat lyder: gennem et punkt, der ligger uden for en given linje, kan kun en linje trækkes parallelt med den givne linje.
siden elementernes udseende for over 2.000 år siden har mange matematikere forsøgt at udlede det parallelle postulat som en sætning fra tidligere etablerede aksiomer og postulater. Den græske Neoplatonist Proclus registrerer i sin kommentar til den første bog af Euclid de geometre, der var utilfredse med Euclids formulering af det parallelle postulat og udpegning af den parallelle erklæring som et legitimt postulat. Araberne, der blev arvinger til græsk videnskab og matematik, var uenige om spørgsmålet om legitimiteten af det femte postulat. De fleste Renæssancegeometre gentog kritikken og “beviserne” af Proclus og Araberne, der respekterede Euklids femte postulat.
den første til at forsøge et bevis på det parallelle postulat af en reductio ad absurdum var Girolamo Saccheri. Hans tilgang blev fortsat og udviklet på en mere dybtgående måde af Johann Heinrich Lambert, der producerede i 1766 ateori af parallelle linjer, der kom tæt på en ikke-euklidisk geometri. Imidlertid opdagede de fleste geometre, der koncentrerede sig om at søge nye beviser for det parallelle postulat, at deres “bevis” i sidste ende bestod af påstande, som selv krævede bevis eller blot var substitutioner for det oprindelige postulat.
mod en ikke-euklidisk geometri
Karl Friedrich Gauss, der var fast besluttet på at få beviset for det femte postulat siden 1792, opgav endelig forsøget i 1813 efter i stedet Saccheris tilgang til at vedtage et parallelt forslag, der modsatte Euklids. Til sidst kom Gauss til den erkendelse, at andre geometrier end euklidiske var mulige. Hans indtrængen i ikke-euklidisk geometri blev kun delt med en håndfuld lignende korrespondenter.
af alle grundlæggerne af ikke-euklidisk geometri havde Lobachevskii alene vedholdenhed og vedholdenhed til at udvikle og offentliggøre sit nye geometrisystem på trods af negativ kritik fra den akademiske verden. Fra et manuskript skrevet i 1823 er det kendt, at Lobachevskii ikke kun var bekymret for teorien om paralleller, men han indså da, at de beviser, der blev foreslået til det femte postulat”, kun var forklaringer og ikke var matematiske beviser i Sand forstand.”
Lobachevskiis fradrag producerede en geometri, som han kaldte “imaginær”, der var internt konsistent og harmonisk, men alligevel forskellig fra den traditionelle af Euclid. I 1826 præsenterede han papiret “kort redegørelse for principperne for geometri med kraftige beviser for Parallels sætning.”Han raffinerede sin imaginære geometri i efterfølgende værker, der stammer fra 1835 til 1855, hvor den sidste var Pangeometri. Gauss læste Lobachevskii ‘ s geometriske undersøgelser af teorien om paralleller, offentliggjort på tysk i 1840, roste det i breve til venner og anbefalede det russiske geometer til medlemskab af G. Bortset fra Gauss modtog Lobachevskiis geometri næsten ingen støtte fra den matematiske verden i løbet af hans levetid.
i sit geometrisystem antog Lobachevskii, at der gennem et givet punkt, der ligger uden for den givne linje, kan tegnes mindst to lige linjer, der ikke skærer den givne linje. Ved sammenligning af Euclids geometri med Lobachevskiis bliver forskellene ubetydelige, når mindre domæner nærmer sig. I håb om at etablere et fysisk grundlag for sin geometri tog Lobachevskii til astronomiske observationer og målinger. Men de involverede afstande og kompleksiteter forhindrede ham i at opnå succes. Ikke desto mindre demonstrerede Eugenio Beltrami i 1868, at der findes en overflade, pseudosfæren, hvis egenskaber svarer til Lobachevskiis geometri. Lobachevskiis geometri var ikke længere en rent logisk, abstrakt og imaginær konstruktion; den beskrev overflader med en negativ krumning. Med tiden fandt Lobachevskiis geometri anvendelse i teorien om komplekse tal, teorien om vektorer og relativitetsteorien.
filosofi og udsigter
hans kollegers manglende evne til at reagere positivt på hans imaginære geometri afskrækkede dem på ingen måde fra at respektere og beundre Lobachevskii som en fremragende administrator og et hengivent medlem af uddannelsessamfundet. Før han overtog sine opgaver som rektor, var fakultetets moral på et lavt punkt. Lobachevskii restaureret Kasan Universitet til et sted af respektabilitet blandt russiske institutioner for videregående uddannelse. Han citerede gentagne gange behovet for at uddanne det russiske folk, behovet for en afbalanceret uddannelse og behovet for at frigøre uddannelse fra bureaukratisk indblanding.
tragedie dogged Lobachevskiis liv. Hans samtidige beskrev ham som hårdtarbejdende og lidende, sjældent afslappende eller vise humor. I 1832 giftede han sig med Varvara Alekseevna Moiseeva, en ung kvinde fra en velhavende familie, der var uddannet, hurtigmodig og uattraktiv. De fleste af deres mange børn var skrøbelige, og hans yndlingssøn døde af tuberkulose. Der var flere finansielle transaktioner, der bragte fattigdom til familien. Mod slutningen af sit liv mistede han synet. Han døde i Kasan den Feb. 24, 1856.
anerkendelse af Lobachevskiis store bidrag til udviklingen af ikke-euklidisk geometri kom et dusin år efter hans død. Måske den fineste hyldest, han nogensinde har modtaget kom fra den britiske matematiker og filosof Vilhelm Kingdon Clifford, der skrev i sine foredrag og Essays, “hvad Vesalius var til Galen, hvad Copernicus var til Ptolemæus, det var Lobachevsky til Euclid.”