den ryska matematikern Nikolai Ivanovich Lobachevskii (1792-1856) var en av de första som hittade ett internt konsekvent system för icke-euklidisk geometri. Hans revolutionära ideer hade djupa konsekvenser för teoretisk fysik, särskilt relativitetsteorin.
Nikolai Lobachevskii föddes den Dec. 2 (N. S.; November. 21, O. S.), 1792, i Nizhni Novgorod (nu Gorkii) till en fattig familj av en regeringstjänsteman. 1807 gick Lobachevskii in i Kazan University för att studera medicin. Men det följande året anlände Johann Martin Bartels, en lärare i ren matematik, till Kazan University från Tyskland. Han följdes snart av astronomen J. J. Littrow. Under deras instruktioner gjorde Lobachevskii ett permanent engagemang för matematik och vetenskap. Han avslutade sina studier vid universitetet 1811 och fick examen i fysik och matematik.
1812 avslutade Lobachevskii sin första uppsats, ”teorin om elliptisk rörelse av himmelska kroppar.”Två år senare utsågs han till biträdande professor vid Kazan University, och år 1816 blev han befordrad till extraordinär professor. År 1820 lämnade Bartels till Universitetet i Dorpat (nu Tartu i Estland), vilket resulterade i att Lobachevskii blev universitetets ledande matematiker. Han blev professor i ren matematik 1822 och ockuperade stolen som Bartels lämnade.
Euclids parallella postulat
Lobachevskiis stora bidrag till utvecklingen av modern matematik börjar med det femte postulatet (ibland kallat axiom XI) i Euclids element. En modern version av detta postulat lyder: genom en punkt som ligger utanför en given linje kan endast en linje dras parallellt med den givna linjen.
sedan elementens utseende för över 2000 år sedan har många matematiker försökt härleda det parallella postulatet som en sats från tidigare etablerade Axiom och postulat. Den grekiska Neoplatonisten Proclus registrerar i sin kommentar till Euclids första bok geometrarna som var missnöjda med Euclids formulering av det parallella postulatet och beteckningen av det parallella uttalandet som ett legitimt postulat. Araberna, som blev arvtagare till grekisk vetenskap och matematik, var uppdelade på frågan om legitimiteten för det femte postulatet. De flesta Renässansgeometrar upprepade kritiken och” bevisen ” från Proclus och araberna som respekterade Euklides femte postulat.
den första som försökte bevisa det parallella postulatet av en reductio ad absurdum var Girolamo Saccheri. Hans tillvägagångssätt fortsatte och utvecklades på ett djupare sätt av Johann Heinrich Lambert, som producerade 1766 ateori av parallella linjer som kom nära en icke-euklidisk geometri. De flesta geometrar som koncentrerade sig på att söka nya bevis på det parallella postulatet upptäckte dock att deras ”bevis” i slutändan bestod av påståenden som själva krävde bevis eller bara var substitutioner för det ursprungliga postulatet.
mot en icke-euklidisk geometri
Karl Friedrich Gauss, som var fast besluten att få beviset på det femte postulatet sedan 1792, övergav slutligen försöket 1813 och följde istället Saccheris tillvägagångssätt att anta ett parallellt förslag som motsatte sig Euclids. Så småningom kom Gauss till insikten att andra geometrier än euklidiska var möjliga. Hans intrång i icke-euklidisk geometri delades endast med en handfull likartade korrespondenter.
av alla grundare av icke-euklidisk geometri hade Lobachevskii ensam uthållighet och uthållighet att utveckla och publicera sitt nya system för geometri trots negativ kritik från den akademiska världen. Från ett manuskript skrivet 1823 är det känt att Lobachevskii inte bara handlade om teorin om paralleller, men han insåg då att de bevis som föreslogs för det femte postulatet ”bara var förklaringar och inte matematiska bevis i verklig mening.”
Lobachevskiis avdrag producerade en geometri, som han kallade ”imaginär”, som var internt konsekvent och harmonisk men ändå annorlunda än den traditionella Euclid. År 1826 presenterade han papperet ”kort redogörelse för principerna om geometri med kraftfulla bevis på Parallellsatsen.”Han förfinade sin imaginära geometri i efterföljande verk, från 1835 till 1855, den sista var Pangeometri. Gauss läste Lobachevskiis Geometriska undersökningar om teorin om paralleller, publicerad på tyska 1840, berömde den i brev till vänner och rekommenderade den ryska geometern till medlemskap i G. Bortsett från Gauss fick Lobachevskiis geometri praktiskt taget inget stöd från den matematiska världen under sin livstid.
i sitt system för geometri antog Lobachevskii att genom en given punkt som ligger utanför den givna linjen kan minst två raka linjer dras som inte skär den givna linjen. Vid jämförelse av Euklides geometri med Lobachevskiis blir skillnaderna försumbara när mindre domäner närmar sig. I hopp om att skapa en fysisk grund för sin geometri, tog Lobachevskii till astronomiska observationer och mätningar. Men avstånden och komplexiteten hindrade honom från att uppnå framgång. Ändå visade Eugenio Beltrami 1868 att det finns en yta, pseudosfären, vars egenskaper motsvarar lobachevskiis geometri. Lobachevskiis geometri var inte längre en rent logisk, abstrakt och imaginär Konstruktion; den beskrev ytor med en negativ krökning. Med tiden fann lobachevskiis geometri tillämpning i teorin om komplexa tal, teorin om vektorer och relativitetsteorin.
filosofi och syn
misslyckandet av hans kollegor att reagera positivt på hans imaginära geometri på något sätt avskräckt dem från att respektera och beundra Lobachevskii som en enastående administratör och en hängiven medlem av utbildningsgemenskapen. Innan han tog över sina uppgifter som rektor var fakultetsmoralen på en låg punkt. Lobachevskii återställde Kazan University till en plats för respektabilitet bland ryska institutioner för högre utbildning. Han citerade upprepade gånger behovet av att utbilda det ryska folket, behovet av en balanserad utbildning och behovet av att befria utbildning från byråkratisk inblandning.
tragedin förföljde Lobachevskiis liv. Hans samtida beskrev honom som hårt arbetande och lidande, sällan avkopplande eller visa humor. År 1832 gifte han sig med Varvara Alekseevna Moiseeva, en ung kvinna från en rik familj som var utbildad, snabbhärdad och oattraktiv. De flesta av deras många barn var svaga, och hans favorit son dog av tuberkulos. Det fanns flera finansiella transaktioner som förde fattigdom till familjen. Mot slutet av sitt liv förlorade han synen. Han dog i Kazan den Feb. 24, 1856.
erkännande av Lobachevskiis stora bidrag till utvecklingen av icke-euklidisk geometri kom ett dussin år efter hans död. Kanske den finaste hyllning han någonsin fått kom från den brittiska matematikern och filosofen William Kingdon Clifford, som skrev i sina föreläsningar och essäer, ”vad Vesalius var Galen, vad Copernicus var att Ptolemaios, det var Lobachevsky till Euclid.”