O matemático russo Nikolai Ivanovich Lobachevskii (1792-1856) foi um dos primeiros a fundar uma coerência interna do sistema de geometria não-Euclidiana. Suas ideias revolucionárias tinham profundas implicações para a física teórica, especialmente a teoria da relatividade.Nikolai Lobachevskii (Dec. 2 (N. S.; Nov. 21, O. S.), 1792, in Nizhni Novgorod (now Gorkii) into a poor family of a government official. Em 1807, Lobachevskii entrou na Universidade de Kazan para estudar medicina. No entanto, no ano seguinte, Johann Martin Bartels, um professor de matemática pura, chegou à Universidade Kazan da Alemanha. Ele foi logo seguido pelo astrônomo J. J. Littrow. Sob sua instrução, Lobachevskii fez um compromisso permanente com matemática e ciência. Ele completou seus estudos na Universidade em 1811, ganhando o grau de mestre em física e matemática.
em 1812 Lobachevskii terminou seu primeiro trabalho, ” the Theory of Elliptical Motion of Heavenly Bodies. Dois anos depois foi nomeado professor assistente na Universidade Kazan, e em 1816 foi promovido a professor extraordinário. Em 1820 Bartels partiu para a Universidade de Dorpat (atual Tartu na Estônia), resultando em Lobachevskii se tornando o principal matemático da Universidade. Tornou-se professor de matemática pura em 1822, ocupando a cadeira desocupada por Bartels.
Euclid’s Parallel Postulate
Lobachevskii’s great contribution to the development of modern mathematics begins with the fifth postulate (sometimes referred to as axiom XI) in Euclid’s Elements. Uma versão moderna deste postulado diz: através de um ponto que está fora de uma determinada linha apenas uma linha pode ser traçada paralela à linha dada.
desde a aparição dos elementos há mais de 2 000 anos, muitos matemáticos tentaram deduzir o postulado paralelo como um teorema de axiomas e postulados previamente estabelecidos. O Neoplatonista Grego Proclo registra em seus comentários sobre o primeiro livro de Euclides os geômetros que estavam insatisfeitos com a formulação de Euclides do postulado paralelo e a designação da declaração paralela como um postulado legítimo. Os árabes, que se tornaram herdeiros da ciência e matemática grega, foram divididos sobre a questão da legitimidade do quinto postulado. A maioria dos geômetros renascentistas repetiram as críticas e” provas ” de Proclo e os árabes respeitando o quinto postulado de Euclides.O primeiro a tentar uma prova do postulado paralelo por uma reductio ad absurdum foi Girolamo Saccheri. Sua abordagem foi continuada e desenvolvida de uma forma mais profunda por Johann Heinrich Lambert, que produziu em 1766 ateoria de linhas paralelas que se aproximaram de uma geometria não euclidiana. No entanto, a maioria dos geômetros que se concentraram na busca de novas provas do postulado paralelo descobriram que, em última análise, as suas “provas” consistiam em afirmações que eles mesmos exigiam prova ou eram meramente substituições para o postulado original.
em Direção a uma Geometria Não-Euclidiana
Karl Friedrich Gauss, que estava determinado a obter a prova do quinto postulado, desde 1792, finalmente abandonou a tentativa de 1813, a seguir, em vez Saccheri da abordagem da adoção de um paralelo proposição contradita de Euclides. Eventualmente, Gauss percebeu que outras geometrias que não euclidianas eram possíveis. Suas incursões na geometria não-euclidiana foram compartilhadas apenas com um punhado de correspondentes semelhantes.
de todos os fundadores da geometria não-euclidiana, Lobachevskii sozinho teve a tenacidade e persistência para desenvolver e publicar seu novo sistema de geometria, apesar das críticas adversas do mundo acadêmico. A partir de um manuscrito escrito em 1823, é sabido que Lobachevskii não estava apenas preocupado com a teoria da paralelos, mas ele percebeu, então, que as provas sugeridas para o quinto postulado “eram apenas explicações e não foram provas matemáticas, no verdadeiro sentido.”
as deduções de Lobachevskii produziram uma geometria, que ele chamou de “imaginária”, que era internamente consistente e harmoniosa, mas diferente da tradicional de Euclides. In 1826, he presented the paper ” Brief Exposition of the Principles of Geometry with Vigorous Proofs of the Theorem of Parallels. Ele aperfeiçoou sua geometria imaginária em obras posteriores, datando de 1835 a 1855, sendo a última a Pangeometria. Gauss leu as investigações geométricas de Lobachevskii sobre a teoria dos paralelos, publicadas em alemão em 1840, elogiou-a em cartas aos amigos, e recomendou o geômetro Russo para ser membro da Sociedade Científica de Göttingen. Além de Gauss, a geometria de Lobachevskii não recebeu praticamente nenhum apoio do mundo matemático durante sua vida.
Em seu sistema de geometria Lobachevskii assumido que através de um determinado ponto deitado fora de linha, pelo menos, duas linhas retas podem ser desenhadas que não se cruzam a linha. Ao comparar a geometria de Euclid com a de Lobachevskii, as diferenças se tornam insignificantes à medida que domínios menores são abordados. Na esperança de estabelecer uma base física para sua geometria, Lobachevskii recorreu a observações astronômicas e medições. Mas as distâncias e complexidades envolvidas impediram-no de alcançar o sucesso. No entanto, em 1868 Eugenio Beltrami demonstrou que existe uma superfície, a pseudosfera, cujas propriedades correspondem à geometria de Lobachevskii. Já não era a geometria de Lobachevskii uma construção puramente lógica, abstrata e imaginária; ela descrevia superfícies com uma curvatura negativa. Com o tempo, a geometria de Lobachevskii encontrou aplicação na teoria dos números complexos, na teoria dos vetores e na teoria da relatividade.
Filosofia e Outlook
O fracasso de seus colegas para responder favoravelmente à sua geometria imaginária, de jeito nenhum, dissuadiu-os de respeitar e admirar Lobachevskii como um excelente administrador e um dedicado membro da comunidade educativa. Antes de assumir seus deveres como reitor, a moral da faculdade estava em um ponto baixo. Lobachevskii restaurou a Universidade de Kazan para um lugar de respeitabilidade entre as instituições russas de ensino superior. Ele citou repetidamente a necessidade de educar o povo russo, a necessidade de uma educação equilibrada e a necessidade de libertar a educação da interferência burocrática.
Tragedy dogged Lobachevskii’s life. Seus contemporâneos o descreveram como trabalhador e sofredor, raramente relaxando ou exibindo humor. Em 1832 casou-se com Varvara Alekseevna Moiseeva, uma jovem de uma família rica que foi educada, de temperamento rápido e pouco atraente. A maioria de seus muitos filhos eram frágeis, e seu filho favorito morreu de tuberculose. Houve várias transações financeiras que trouxeram pobreza à família. Perto do fim da sua vida, perdeu a visão. Ele morreu em Kazan em Fevereiro. 24, 1856.
reconhecimento da grande contribuição de Lobachevskii para o desenvolvimento da geometria não euclidiana veio uma dúzia de anos após sua morte. Talvez o melhor tributo que ele já recebeu veio do matemático e filósofo britânico William Kingdon Clifford, que escreveu em suas palestras e ensaios, “O Que Vesalius foi para Galeno, o que Copérnico foi para Ptolomeu, que foi Lobachevsky para Euclides.”
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