Der russische Mathematiker Nikolai Ivanovich Lobachevskii (1792-1856) war einer der ersten, der ein intern konsistentes System der nichteuklidischen Geometrie gründete. Seine revolutionären Ideen hatten tiefgreifende Auswirkungen auf die theoretische Physik, insbesondere auf die Relativitätstheorie.
Nikolai Lobachevskii wurde am Dez. 2 (N.S.; Nov. 21, O.S.), 1792, in Nischni Nowgorod (heute Gorkii) in eine arme Familie eines Regierungsbeamten. 1807 trat Lobachevskii in die Kasaner Universität ein, um Medizin zu studieren. Im folgenden Jahr kam Johann Martin Bartels, ein Lehrer für reine Mathematik, aus Deutschland an die Kasaner Universität. Ihm folgte bald der Astronom J. J. Littrow. Unter ihrer Anleitung machte Lobachevskii ein ständiges Engagement für Mathematik und Naturwissenschaften. Er schloss sein Studium an der Universität 1811 mit dem Abschluss Master of physics and mathematics ab.
1812 beendete Lobachevskii sein erstes Papier, „Die Theorie der elliptischen Bewegung der Himmelskörper.“ Zwei Jahre später wurde er zum Assistenzprofessor an der Kasaner Universität ernannt und 1816 zum außerordentlichen Professor befördert. Im Jahr 1820 Bartels Links für die Universität Dorpat (heute Tartu in Estland), was zu Lobachevskii’s immer der führende Mathematiker der Universität. Er wurde ordentlicher Professor für reine Mathematik in 1822, besetzen den Stuhl geräumt von Bartels.
Euklids Paralleles Postulat
Lobachevskiis großer Beitrag zur Entwicklung der modernen Mathematik beginnt mit dem fünften Postulat (manchmal als Axiom XI bezeichnet) in Euklids Elementen. Eine moderne Version dieses Postulats lautet: Durch einen Punkt, der außerhalb einer bestimmten Linie liegt, kann nur eine Linie parallel zu dieser Linie gezogen werden.
Seit dem Erscheinen der Elemente vor über 2.000 Jahren haben viele Mathematiker versucht, das parallele Postulat als Satz aus zuvor festgelegten Axiomen und Postulaten abzuleiten. Der griechische Neuplatoniker Proclus zeichnet in seinem Kommentar zum Ersten Buch Euklids die Geometer auf, die mit Euklids Formulierung des Parallelpostulats und der Bezeichnung der Parallelaussage als legitimes Postulat unzufrieden waren. Die Araber, die Erben der griechischen Wissenschaft und Mathematik wurden, waren in der Frage der Legitimität des fünften Postulats gespalten. Die meisten Renaissance-Geometer wiederholten die Kritik und „Beweise“ von Proclus und den Arabern, die Euklids fünftes Postulat respektierten.
Der erste, der einen Beweis für das parallele Postulat durch eine reductio ad absurdum versuchte, war Girolamo Saccheri. Sein Ansatz wurde fortgesetzt und in einer tieferen Art und Weise von Johann Heinrich Lambert, der im Jahre 1766 eine Theorie der parallelen Linien, die nahe an einer nicht-euklidischen Geometrie kam entwickelt. Die meisten Geometer, die sich auf die Suche nach neuen Beweisen für das parallele Postulat konzentrierten, stellten jedoch fest, dass ihre „Beweise“ letztendlich aus Behauptungen bestanden, die selbst Beweise erforderten oder lediglich Substitutionen für das ursprüngliche Postulat waren.
Auf dem Weg zu einer nicht-euklidischen Geometrie
Karl Friedrich Gauß, der seit 1792 entschlossen war, den Beweis für das fünfte Postulat zu erhalten, gab den Versuch schließlich 1813 auf und folgte stattdessen Saccheris Ansatz, einen parallelen Satz anzunehmen, der dem von Euklid widersprach. Schließlich kam Gauß zu der Erkenntnis, dass andere Geometrien als Euklidisch möglich waren. Seine Einfälle in die nicht-euklidische Geometrie wurden nur mit einer Handvoll gleichgesinnter Korrespondenten geteilt.
Von allen Begründern der nichteuklidischen Geometrie hatte Lobachevskii allein die Hartnäckigkeit und Beharrlichkeit, sein neues Geometriesystem trotz widriger Kritik aus der akademischen Welt zu entwickeln und zu veröffentlichen. Aus einem Manuskript von 1823 ist bekannt, dass sich Lobachevskii nicht nur mit der Theorie der Parallelen befasste, sondern auch erkannte, dass die für das fünfte Postulat vorgeschlagenen Beweise „lediglich Erklärungen und keine mathematischen Beweise im eigentlichen Sinne waren.“
Lobachevskiis Ableitungen erzeugten eine Geometrie, die er „imaginär“ nannte, die innerlich konsistent und harmonisch war und sich dennoch von der traditionellen von Euklid unterschied. Im Jahr 1826 präsentierte er das Papier „Kurze Darstellung der Prinzipien der Geometrie mit kräftigen Beweisen des Theorems der Parallelen.“ Er verfeinerte seine imaginäre Geometrie in nachfolgenden Werken aus den Jahren 1835 bis 1855, wobei die letzte Pangeometrie war. Gauß las Lobachevskii (Lobachevskii)’s Geometrische Untersuchungen auf der Theorie von Parallelen (geometrische Untersuchungen auf der Theorie von Parallelen), veröffentlicht auf Deutsch 1840, lobte es in Briefen an Freunde, und empfahl dem russischen Geometer zur Mitgliedschaft in der Wissenschaftlichen Gesellschaft von Göttingen. Abgesehen von Gauß erhielt Lobachevskii Geometrie praktisch keine Unterstützung von der mathematischen Welt zu seinen Lebzeiten.
In seinem Geometriesystem nahm Lobachevskii an, dass durch einen gegebenen Punkt, der außerhalb der gegebenen Linie liegt, mindestens zwei gerade Linien gezeichnet werden können, die die gegebene Linie nicht schneiden. Beim Vergleich der Geometrie von Euklid mit der von Lobachevskii werden die Unterschiede vernachlässigbar, wenn kleinere Domänen angefahren werden. In der Hoffnung, eine physikalische Grundlage für seine Geometrie zu schaffen, griff Lobachevskii auf astronomische Beobachtungen und Messungen zurück. Aber die damit verbundenen Entfernungen und Komplexitäten hinderten ihn daran, Erfolg zu haben. Dennoch zeigte Eugenio Beltrami 1868, dass es eine Oberfläche gibt, die Pseudosphäre, deren Eigenschaften der Geometrie von Lobachevskii entsprechen. Die Geometrie von Lobachevskii war nicht mehr ein rein logisches, abstraktes und imaginäres Konstrukt; es beschrieb Oberflächen mit einer negativen Krümmung. Im Laufe der Zeit fand Lobachevskii Geometrie Anwendung in der Theorie der komplexen Zahlen, die Theorie der Vektoren, und die Relativitätstheorie.
Philosophie und Ausblick
Das Versäumnis seiner Kollegen, positiv auf seine imaginäre Geometrie zu reagieren, hielt sie in keiner Weise davon ab, Lobachevskii als herausragenden Administrator und hingebungsvolles Mitglied der Bildungsgemeinschaft zu respektieren und zu bewundern. Bevor er seine Aufgaben als Rektor übernahm, war die Moral der Fakultät auf einem Tiefpunkt. Lobachevskii restauriert Kasaner Universität zu einem Ort der Seriosität unter den russischen Hochschulen. Er zitierte wiederholt die Notwendigkeit, das russische Volk zu erziehen, die Notwendigkeit einer ausgewogenen Bildung und die Notwendigkeit, Bildung von bürokratischen Eingriffen zu befreien.
Die Tragödie hat das Leben Lobachevskii verfolgt. Seine Zeitgenossen beschrieben ihn als fleißig und leidend, selten entspannend oder humorvoll. 1832 heiratete er Varvara Alekseevna Moiseeva, eine junge Frau aus einer wohlhabenden Familie, die gebildet, aufbrausend und unattraktiv war. Die meisten ihrer vielen Kinder waren gebrechlich, und sein Lieblingssohn starb an Tuberkulose. Es gab mehrere finanzielle Transaktionen, die der Familie Armut brachten. Gegen Ende seines Lebens verlor er sein Augenlicht. Er starb am Februar in Kasan. 24, 1856.
Die Anerkennung von Lobachevskiis großem Beitrag zur Entwicklung der nichteuklidischen Geometrie erfolgte ein Dutzend Jahre nach seinem Tod. Der vielleicht schönste Tribut, den er je erhielt, kam von dem britischen Mathematiker und Philosophen William Kingdon Clifford, der in seinen Vorlesungen und Essays schrieb: „Was Vesalius für Galen war, was Kopernikus für Ptolemäus war, das war Lobatschewski für Euklid.“