ODEEdit
Per una normale equazione differenziale, per esempio,
y “+ y = 0 , {\displaystyle y”+y=0,}
le condizioni al contorno di Neumann sull’intervallo assumere la forma
y ‘ ( a ) = α , y ‘( b ) = β , {\displaystyle y'(a)=\alpha ,\quad y'(b)=\beta ,}
dove α e β sono numeri dati.
PDEEdit
Per una equazione differenziale parziale, per esempio,
∇ 2 y + y = 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}
dove ∇2 indica l’operatore di Laplace, il Neumann condizioni al contorno su un dominio Ω ⊂ ℝn assumere la forma
∂ y ∂ n ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ∂ Ω , {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \in \partial \Omega ,}
dove n denota la normale (tipicamente esterna) al confine Ω Ω, e f è una data funzione scalare.
normale derivati, che mostra sul lato sinistro, è definito come
∂ y ∂ n ( x ) = ∇ y ( x ) ⋅ n ^ ( x) {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x} ),}
dove ∇y(x) rappresenta il vettore gradiente di y(x), n è l’unità normale, e ⋅ rappresenta il prodotto interno operatore.
Diventa chiaro che il confine deve essere sufficientemente liscio in modo tale che possa esistere la derivata normale, poiché, ad esempio, nei punti d’angolo sul confine il vettore normale non è ben definito.
applicazionimodifica
Le seguenti applicazioni comportano l’uso delle condizioni al contorno di Neumann:
- In termodinamica, un flusso di calore prescritto da una superficie servirebbe come condizione al contorno. Ad esempio, un isolante perfetto non avrebbe alcun flusso mentre un componente elettrico potrebbe dissiparsi a una potenza nota.
- In magnetostatica, l’intensità del campo magnetico può essere prescritta come condizione al contorno per trovare la distribuzione della densità del flusso magnetico in una matrice magnetica nello spazio, ad esempio in un motore a magneti permanenti. Poiché i problemi in magnetostatica coinvolgono risolvere l’equazione di Laplace o l’equazione di Poisson per il potenziale scalare magnetico, la condizione al contorno è una condizione di Neumann.