ODEEdit
för en vanlig differentialekvation, till exempel
y ”+ y = 0, {\displaystyle y ”+ y=0,}
Neumann-gränsvillkoren för intervallet har formen
y ’( a) = 0, y ’( b ) = 8, {\displaystyle y'(a)= \ alpha, \ quad y'(b)= \ beta ,}
där är antalet nummer och antalet nummer.
PDEEdit
För en partiell differentialekvation, till exempel
∇ 2 y + y = 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}
där ∇2 betecknar laplaceoperatorn, den Neumann-randvillkor på en domän Ω ⊂ ℝn ta form
∂ y ∂ n ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ∂ Ω , {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \i \delvis \Omega ,}
där n betecknar (typiskt exteriör) normal till gränsen bisexuell, och f är en given skalär funktion.
det normala derivatet, som dyker upp på vänster sida, definieras som
exportoriskt y exportoriskt n (x) = exportoriskt y (x) exportoriskt n ^ (x), {\displaystyle {\frac {\partial y} {\partial \ mathbf {n} }} (\mathbf {x}) = \ nabla y (\mathbf {x} ) \ cdot \ mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x} ),}
där y(x) representerar gradientvektorn för y(x), n är enheten normal, och 0 representerar den inre produktoperatören.
det blir tydligt att gränsen måste vara tillräckligt jämn så att det normala derivatet kan existera, eftersom till exempel vid hörnpunkter på gränsen är den normala vektorn inte väldefinierad.
ApplicationsEdit
följande tillämpningar innebär användning av Neumann gränsvillkor:
- i termodynamik skulle ett föreskrivet värmeflöde från en yta fungera som gränsvillkor. Till exempel skulle en perfekt isolator inte ha något flöde medan en elektrisk komponent kan spridas vid en känd effekt.
- i magnetostatika kan magnetfältintensiteten förskrivas som ett gränsvillkor för att hitta den magnetiska flödestäthetsfördelningen i en magnetuppsättning i rymden, till exempel i en permanentmagnetmotor. Eftersom problemen i magnetostatiken innebär att lösa Laplaces ekvation eller Poissons ekvation för den magnetiska skalärpotentialen är gränsvillkoret ett Neumann-tillstånd.