El matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevskii (1792-1856) fue uno de los primeros en fundar un sistema internamente consistente de geometría no euclidiana. Sus ideas revolucionarias tenían profundas implicaciones para la física teórica, especialmente la teoría de la relatividad.
Nikolai Lobachevskii nació en diciembre. 2 (N. S.; Nov. 21, O. S.), 1792, en Nizhni Novgorod (ahora Gorkii) en una familia pobre de un funcionario del gobierno. En 1807 Lobachevskii entró en la Universidad de Kazán para estudiar medicina. Sin embargo, al año siguiente Johann Martin Bartels, un profesor de matemáticas puras, llegó a la Universidad de Kazán desde Alemania. Pronto fue seguido por el astrónomo J. J. Littrow. Bajo su instrucción, Lobachevskii hizo un compromiso permanente con las matemáticas y la ciencia. Completó sus estudios en la universidad en 1811, obteniendo el título de máster en física y matemáticas.
En 1812 Lobachevskii terminó su primer trabajo, «La Teoría del Movimiento Elíptico de los Cuerpos Celestes. Dos años más tarde fue nombrado profesor asistente en la Universidad de Kazán, y en 1816 fue ascendido a profesor extraordinario. En 1820 Bartels se fue a la Universidad de Dorpat (ahora Tartu en Estonia), lo que resultó en que Lobachevskii se convirtiera en el principal matemático de la universidad. Se convirtió en profesor titular de matemáticas puras en 1822, ocupando la cátedra vacante por Bartels.
Postulado paralelo de Euclides
La gran contribución de Lobachevskii al desarrollo de las matemáticas modernas comienza con el quinto postulado (a veces referido como axioma XI) en los Elementos de Euclides. Una versión moderna de este postulado dice: A través de un punto que se encuentra fuera de una línea dada, solo se puede dibujar una línea paralela a la línea dada.
Desde la aparición de los Elementos hace más de 2.000 años, muchos matemáticos han intentado deducir el postulado paralelo como un teorema a partir de axiomas y postulados previamente establecidos. El neoplatonista griego Proclo registra en su Comentario sobre el Primer Libro de Euclides a los geómetras que estaban insatisfechos con la formulación de Euclides del postulado paralelo y la designación de la declaración paralela como un postulado legítimo. Los árabes, que se convirtieron en herederos de la ciencia y las matemáticas griegas, estaban divididos sobre la cuestión de la legitimidad del quinto postulado. La mayoría de los geómetras renacentistas repitieron las críticas y las «pruebas» de Proclo y los árabes respecto al quinto postulado de Euclides.
El primero en intentar probar el postulado paralelo mediante una reductio ad absurdum fue Girolamo Saccheri. Su enfoque fue continuado y desarrollado de una manera más profunda por Johann Heinrich Lambert, quien produjo en 1766 la ateoría de líneas paralelas que se acercaba a una geometría no euclidiana. Sin embargo, la mayoría de los geómetras que se concentraron en buscar nuevas pruebas del postulado paralelo descubrieron que, en última instancia, sus «pruebas» consistían en afirmaciones que a su vez requerían pruebas o eran meramente sustituciones del postulado original.
Hacia una Geometría no Euclidiana
Karl Friedrich Gauss, que estaba decidido a obtener la prueba del quinto postulado desde 1792, finalmente abandonó el intento en 1813, siguiendo en cambio el enfoque de Saccheri de adoptar una proposición paralela que contradecía la de Euclides. Finalmente, Gauss se dio cuenta de que otras geometrías que no fueran euclidianas eran posibles. Sus incursiones en la geometría no euclidiana se compartieron solo con un puñado de corresponsales de ideas similares.
De todos los fundadores de la geometría no euclidiana, Lobachevskii solo tuvo la tenacidad y persistencia para desarrollar y publicar su nuevo sistema de geometría a pesar de las críticas adversas del mundo académico. A partir de un manuscrito escrito en 1823, se sabe que Lobachevskii no solo se preocupaba por la teoría de paralelos, sino que se dio cuenta de que las pruebas sugeridas para el quinto postulado «eran meramente explicaciones y no eran pruebas matemáticas en el verdadero sentido.»
Las deducciones de Lobachevskii produjeron una geometría, que él llamó «imaginaria», que era internamente consistente y armoniosa pero diferente de la tradicional de Euclides. En 1826, presentó el documento » Breve Exposición de los Principios de la Geometría con Pruebas Vigorosas del Teorema de los Paralelos.»Refinó su geometría imaginaria en obras posteriores, que datan de 1835 a 1855, siendo la última Pangeometría. Gauss leyó las Investigaciones Geométricas de Lobachevskii sobre la Teoría de Paralelos, publicadas en alemán en 1840, lo elogió en cartas a sus amigos y recomendó al geómetra ruso ser miembro de la Sociedad Científica de Göttingen. Aparte de Gauss, la geometría de Lobachevskii no recibió prácticamente ningún apoyo del mundo matemático durante su vida.
En su sistema de geometría Lobachevskii asumió que a través de un punto dado que se encuentra fuera de la línea dada, se pueden dibujar al menos dos líneas rectas que no se cruzan con la línea dada. Al comparar la geometría de Euclides con la de Lobachevskii, las diferencias se vuelven insignificantes a medida que se acercan dominios más pequeños. Con la esperanza de establecer una base física para su geometría, Lobachevskii recurrió a observaciones y mediciones astronómicas. Pero las distancias y complejidades involucradas le impidieron alcanzar el éxito. Sin embargo, en 1868 Eugenio Beltrami demostró que existe una superficie, la pseudosfera, cuyas propiedades corresponden a la geometría de Lobachevskii. La geometría de Lobachevskii ya no era una construcción puramente lógica, abstracta e imaginaria; describía superficies con una curvatura negativa. Con el tiempo, la geometría de Lobachevskii encontró aplicación en la teoría de números complejos, la teoría de vectores y la teoría de la relatividad.
Filosofía y perspectiva
El fracaso de sus colegas para responder favorablemente a su geometría imaginaria de ninguna manera los disuadió de respetar y admirar a Lobachevskii como un administrador sobresaliente y un miembro devoto de la comunidad educativa. Antes de asumir sus funciones como rector, la moral de la facultad estaba en un punto bajo. Lobachevskii restauró la Universidad de Kazán a un lugar de respetabilidad entre las instituciones rusas de educación superior. Citó repetidamente la necesidad de educar al pueblo ruso, la necesidad de una educación equilibrada y la necesidad de liberar la educación de la interferencia burocrática.
La tragedia persiguió la vida de Lobachevskii. Sus contemporáneos lo describieron como trabajador y sufriente, rara vez relajándose o mostrando humor. En 1832 se casó con Varvara Alekseevna Moiseeva, una joven de una familia adinerada que era educada, de mal genio y poco atractiva. La mayoría de sus muchos hijos eran frágiles, y su hijo favorito murió de tuberculosis. Hubo varias transacciones financieras que trajeron pobreza a la familia. Hacia el final de su vida perdió la vista. Murió en Kazán, en Febrero. 24, 1856.
El reconocimiento de la gran contribución de Lobachevskii al desarrollo de la geometría no euclidiana llegó una docena de años después de su muerte. Tal vez el mejor tributo que recibió vino del matemático y filósofo británico William Kingdon Clifford, quien escribió en sus Conferencias y Ensayos, «Lo que Vesalio fue para Galeno, lo que Copérnico fue para Ptolomeo, eso fue Lobachevsky para Euclides.»