de Russische wiskundige Nikolaj Ivanovitsj Lobachevskii (1792-1856) was een van de eersten die een intern consistent systeem van niet-Euclidische meetkunde vond. Zijn revolutionaire ideeën hadden diepgaande implicaties voor de theoretische natuurkunde, in het bijzonder de relativiteitstheorie.
Nikolai Lobachevskii werd geboren op Dec. 2 (N. S.; Nov. 21, O. S.), 1792, in Nizjni Novgorod (nu Gorkii) in een arme familie van een ambtenaar. In 1807 ging Lobachevskii naar de Universiteit van Kazan om geneeskunde te studeren. Het jaar daarop arriveerde Johann Martin Bartels, een leraar zuivere wiskunde, aan de Kazan Universiteit uit Duitsland. Hij werd al snel gevolgd door de astronoom J. J. Littrow. Onder hun instructie maakte Lobachevskii een permanente verbintenis met wiskunde en wetenschap. Hij voltooide zijn studie aan de universiteit in 1811 en behaalde de graad van master in de natuurkunde en wiskunde.In 1812 voltooide Lobachevskii zijn eerste artikel, “The Theory of Elliptical Motion of Heavenly Bodies. Twee jaar later werd hij benoemd tot assistent-professor aan de Universiteit van Kazan en in 1816 werd hij gepromoveerd tot buitengewoon hoogleraar. In 1820 vertrok Bartels naar de Universiteit van Dorpat (nu Tartu in Estland), waardoor Lobachevskii de leidende wiskundige van de universiteit werd. Hij werd hoogleraar in de zuivere wiskunde in 1822 en bekleedde de leerstoel die door Bartels werd verlaten.
Euclides Parallelpostulaat
Lobachevskii ’s grote bijdrage aan de ontwikkeling van de moderne wiskunde begint met het vijfde postulaat (soms aangeduid als axioma XI) in Euclides’ elementen. Een moderne versie van dit postulaat luidt: door een punt dat buiten een bepaalde lijn ligt kan slechts één lijn parallel aan de gegeven lijn getrokken worden.
sinds het verschijnen van de elementen meer dan 2000 jaar geleden hebben veel wiskundigen geprobeerd het parallelle postulaat als stelling af te leiden uit eerder vastgestelde axioma ‘ s en postulaten. De Griekse Neoplatonist Proclus beschrijft in zijn commentaar op het eerste boek van Euclides de meetkundigen die ontevreden waren met Euclides ‘ formulering van het parallelle postulaat en de aanduiding van de parallelle verklaring als een legitiem postulaat. De Arabieren, die erfgenamen werden van de Griekse wetenschap en wiskunde, waren verdeeld over de vraag van de legitimiteit van het vijfde postulaat. De meeste Renaissance-meetkundigen herhaalden de kritiek en “bewijzen” van Proclus en de Arabieren die Euclides ‘ vijfde postulaat respecteerden.De eerste die het parallelpostulaat probeerde te bewijzen met een reductio ad absurdum was Girolamo Saccheri. Zijn benadering werd voortgezet en verder ontwikkeld door Johann Heinrich Lambert, die in 1766 atheorie van parallelle lijnen produceerde die dicht bij een niet-Euclidische meetkunde kwamen. Echter, de meeste meetkundigen die zich concentreerden op het zoeken naar nieuwe bewijzen van het parallelle postulaat ontdekten dat hun “bewijzen” uiteindelijk uit beweringen bestonden die zelf bewijs vereisten of slechts substituties waren voor het oorspronkelijke postulaat.
naar een niet-Euclidische meetkunde
Karl Friedrich Gauss, die vastbesloten was om het bewijs van het vijfde postulaat te verkrijgen sinds 1792, stopte uiteindelijk met de poging in 1813, in plaats daarvan na Saccheri ’s benadering van het aannemen van een parallelle stelling die Euclides’ stelling tegensprak. Uiteindelijk kwam Gauss tot het besef dat andere geometrieën dan Euclidische mogelijk waren. Zijn invallen in de niet-Euclidische meetkunde werden slechts gedeeld met een handvol gelijkgestemde correspondenten.Van alle grondleggers van de niet-Euclidische meetkunde had Lobachevskii alleen de vasthoudendheid en doorzettingsvermogen om zijn nieuwe systeem van meetkunde te ontwikkelen en te publiceren, ondanks negatieve kritiek vanuit de academische wereld. Uit een manuscript dat in 1823 werd geschreven, is bekend dat Lobachevskii zich niet alleen bezighield met de theorie van parallellen, maar zich toen realiseerde dat de bewijzen die voor het vijfde postulaat werden voorgesteld “slechts verklaringen waren en geen wiskundige bewijzen in de ware zin van het woord.”
Lobachevskii ’s conclusies produceerden een geometrie, die hij “imaginair” noemde, die intern consistent en harmonieus was, maar toch verschillend van de traditionele van Euclides. In 1826 presenteerde hij het artikel “Brief Exposition of the Principles of Geometry with Vigorous Proofs of the Theorem of Parallels.”Hij verfijnde zijn denkbeeldige meetkunde in latere werken, daterend van 1835 tot 1855, de laatste Pangeometrie. Gauss las Lobachevskii ‘ s meetkundige onderzoeken naar de theorie van parallellen, gepubliceerd in het Duits in 1840, prees het in brieven aan vrienden, en beval de Russische meetkundige aan lid te worden van de Göttingen Scientific Society. Naast Gauss kreeg Lobachevskii ‘ s meetkunde tijdens zijn leven vrijwel geen steun van de wiskundige wereld.In zijn meetkunde ging Lobachevskii ervan uit dat door een gegeven punt dat buiten de gegeven lijn ligt, ten minste twee rechte lijnen getrokken kunnen worden die de gegeven lijn niet snijden. Wanneer Euclides ‘ meetkunde wordt vergeleken met die van Lobachevskii, worden de verschillen verwaarloosbaar naarmate kleinere domeinen worden benaderd. In de hoop een fysieke basis voor zijn meetkunde te leggen, nam Lobachevskii zijn toevlucht tot astronomische waarnemingen en metingen. Maar de afstanden en complexiteit die ermee gepaard gingen, verhinderden hem succes te boeken. Niettemin toonde Eugenio Beltrami in 1868 aan dat er een oppervlak bestaat, de pseudosfeer, waarvan de eigenschappen overeenkomen met de meetkunde van Lobachevskii. Lobachevskii ‘ s meetkunde was niet langer een puur logische, abstracte en imaginaire constructie; het beschreef oppervlakken met een negatieve kromming. In de tijd vond Lobachevskii ‘ s meetkunde toepassing in de theorie van complexe getallen, de theorie van vectoren en de relativiteitstheorie.
filosofie en vooruitzichten
het falen van zijn collega ‘ s om gunstig te reageren op zijn denkbeeldige geometrie, weerhield hen er niet van Lobachevskii te respecteren en te bewonderen als een uitstekend bestuurder en een toegewijd lid van de onderwijsgemeenschap. Voordat hij zijn taken als rector overnam, was het moreel van de Faculteit op een dieptepunt. Lobachevskii gerestaureerd Kazan University naar een plaats van respectabiliteit onder de Russische instellingen voor Hoger Onderwijs. Hij noemde herhaaldelijk de noodzaak om het Russische volk op te leiden, de noodzaak van een evenwichtig onderwijs, en de noodzaak om onderwijs te bevrijden van bureaucratische inmenging.De tragedie achtervolgde Lobachevskii ‘ s leven. Zijn tijdgenoten beschreven hem als hardwerkend en lijdend, zelden ontspannend of met humor. In 1832 trouwde hij met Varvara Alekseevna Moiseeva, een jonge vrouw uit een rijke familie die was opgeleid, opvliegend en onaantrekkelijk. De meeste van hun vele kinderen waren broos en zijn favoriete zoon stierf aan tuberculose. Er waren verschillende financiële transacties die armoede aan het gezin brachten. Tegen het einde van zijn leven verloor hij zijn zicht. Hij stierf in Kazan op Februari. 24, 1856.De erkenning van Lobachevskii ‘ s grote bijdrage aan de ontwikkeling van de niet-Euclidische meetkunde kwam een tiental jaren na zijn dood. Misschien wel het beste eerbetoon dat hij ooit ontving kwam van de Britse wiskundige en filosoof William Kingdon Clifford, die in zijn lezingen en Essays schreef: “Wat Vesalius was voor Galen, wat Copernicus was voor Ptolemaeus, dat was Lobachevsky voor Euclides.”