Il matematico russo Nikolai Ivanovich Lobachevskii (1792-1856) fu uno dei primi a fondare un sistema internamente coerente di geometria non euclidea. Le sue idee rivoluzionarie avevano profonde implicazioni per la fisica teorica, in particolare la teoria della relatività.
Nikolai Lobachevskii è nato il dic. 2 (N. S.; Nov. 21, O. S.), 1792, a Nizhni Novgorod (ora Gorkii) in una famiglia povera di un funzionario governativo. Nel 1807 Lobachevskii entrò all’Università di Kazan per studiare medicina. Tuttavia, l’anno successivo Johann Martin Bartels, un insegnante di matematica pura, arrivò all’Università di Kazan dalla Germania. Fu presto seguito dall’astronomo J. J. Littrow. Sotto la loro istruzione, Lobachevskii fece un impegno permanente per la matematica e la scienza. Ha completato i suoi studi presso l’università nel 1811, guadagnando il grado di master of physics and mathematics.
Nel 1812 Lobachevskii terminò il suo primo lavoro, “The Theory of Elliptical Motion of Heavenly Bodies. Due anni dopo fu nominato assistente professore all’Università di Kazan e nel 1816 fu promosso professore straordinario. Nel 1820 Bartels ha lasciato per l’Università di Dorpat (ora Tartu in Estonia), con conseguente Lobachevskii di diventare il principale matematico dell’università. Divenne professore ordinario di matematica pura nel 1822, occupando la cattedra lasciata libera da Bartels.
Il postulato parallelo di Euclide
Il grande contributo di Lobachevskii allo sviluppo della matematica moderna inizia con il quinto postulato (a volte indicato come assioma XI) negli Elementi di Euclide. Una versione moderna di questo postulato legge: Attraverso un punto che si trova al di fuori di una determinata linea solo una linea può essere disegnata parallela alla linea data.
Dall’apparizione degli Elementi oltre 2.000 anni fa, molti matematici hanno tentato di dedurre il postulato parallelo come teorema da assiomi e postulati precedentemente stabiliti. Il neoplatonista greco Proclo registra nel suo Commento al primo libro di Euclide i geometri che erano insoddisfatti della formulazione di Euclide del postulato parallelo e della designazione dell’affermazione parallela come postulato legittimo. Gli arabi, che divennero eredi della scienza e della matematica greca, furono divisi sulla questione della legittimità del quinto postulato. La maggior parte dei geometri rinascimentali ha ripetuto le critiche e le” prove ” di Proclo e degli arabi rispettando il quinto postulato di Euclide.
Il primo a tentare una prova del postulato parallelo da una reductio ad absurdum fu Girolamo Saccheri. Il suo approccio è stato continuato e sviluppato in modo più profondo da Johann Heinrich Lambert, che ha prodotto nel 1766 ateoria di linee parallele che è venuto vicino a una geometria non euclidea. Tuttavia, la maggior parte dei geometri che si concentrarono sulla ricerca di nuove prove del postulato parallelo scoprì che alla fine le loro” prove ” consistevano in asserzioni che a loro volta richiedevano prove o erano semplicemente sostituzioni per il postulato originale.
Verso una geometria non euclidea
Karl Friedrich Gauss, che era determinato a ottenere la prova del quinto postulato dal 1792, abbandonò infine il tentativo dal 1813, seguendo invece l’approccio di Saccheri di adottare una proposizione parallela che contraddiceva quella di Euclide. Alla fine, Gauss arrivò alla realizzazione che geometrie diverse da quelle euclidee erano possibili. Le sue incursioni nella geometria non euclidea furono condivise solo con una manciata di corrispondenti simili.
Di tutti i fondatori della geometria non euclidea, Lobachevskii solo ha avuto la tenacia e la persistenza di sviluppare e pubblicare il suo nuovo sistema di geometria, nonostante le critiche negative da parte del mondo accademico. Da un manoscritto scritto nel 1823, è noto che Lobachevskii non si occupava solo della teoria dei paralleli, ma si rese conto che le prove suggerite per il quinto postulato “erano semplicemente spiegazioni e non erano prove matematiche nel vero senso.”
Le deduzioni di Lobachevskii produssero una geometria, che chiamò “immaginaria”, che era internamente coerente e armoniosa ma diversa da quella tradizionale di Euclide. Nel 1826, ha presentato la carta “Breve esposizione dei principi di geometria con vigorosa prove del teorema dei paralleli.”Perfezionò la sua geometria immaginaria in opere successive, risalenti al 1835-1855, l’ultima delle quali è la Pangeometria. Gauss lesse le indagini geometriche di Lobachevskii sulla Teoria dei Paralleli, pubblicate in tedesco nel 1840, le lodò in lettere agli amici e raccomandò il geometro russo all’appartenenza alla Göttingen Scientific Society. A parte Gauss, Lobachevskii geometria ha ricevuto praticamente alcun supporto dal mondo matematico durante la sua vita.
Nel suo sistema di geometria Lobachevskii presumeva che attraverso un dato punto situato al di fuori della linea data si potessero tracciare almeno due linee rette che non intersecassero la linea data. Confrontando la geometria di Euclide con quella di Lobachevskii, le differenze diventano trascurabili man mano che si avvicinano domini più piccoli. Nella speranza di stabilire una base fisica per la sua geometria, Lobachevskii ricorse a osservazioni e misurazioni astronomiche. Ma le distanze e le complessità coinvolte gli hanno impedito di raggiungere il successo. Tuttavia, nel 1868 Eugenio Beltrami dimostrò che esiste una superficie, la pseudosfera, le cui proprietà corrispondono alla geometria di Lobachevskii. La geometria di Lobachevskii non era più un costrutto puramente logico, astratto e immaginario; descriveva superfici con una curvatura negativa. Nel tempo, la geometria di Lobachevskii trovò applicazione nella teoria dei numeri complessi, nella teoria dei vettori e nella teoria della relatività.
Filosofia e prospettive
Il fallimento dei suoi colleghi di rispondere favorevolmente alla sua geometria immaginaria non li ha in alcun modo dissuasi dal rispettare e ammirare Lobachevskii come un amministratore eccezionale e un membro devoto della comunità educativa. Prima di assumere le sue funzioni di rettore, il morale della facoltà era a un punto basso. Lobachevskii ha restaurato l’Università di Kazan in un luogo di rispettabilità tra le istituzioni russe di istruzione superiore. Ha citato più volte la necessità di educare il popolo russo, la necessità di un’educazione equilibrata e la necessità di liberare l’istruzione dalle interferenze burocratiche.
La tragedia ha perseguitato la vita di Lobachevskii. I suoi contemporanei lo descrivevano come laborioso e sofferente, raramente rilassante o mostrando umorismo. Nel 1832 sposò Varvara Alekseevna Moiseeva, una giovane donna di una famiglia benestante che era istruita, irascibile e poco attraente. La maggior parte dei loro molti figli erano fragili e il suo figlio preferito morì di tubercolosi. Ci sono state diverse transazioni finanziarie che hanno portato la povertà alla famiglia. Verso la fine della sua vita perse la vista. Morì a Kazan il feb. 24, 1856.
Il riconoscimento del grande contributo di Lobachevskii allo sviluppo della geometria non euclidea arrivò una dozzina di anni dopo la sua morte. Forse il più bel tributo che abbia mai ricevuto è venuto dal matematico e filosofo britannico William Kingdon Clifford, che ha scritto nelle sue Conferenze e saggi, ” Ciò che Vesalio era a Galeno, ciò che Copernico era a Tolomeo, che era Lobachevsky a Euclide.”